Theorem zlidlring 48155

Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zlidlring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 21241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
5		eleq1 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
7	4, 6	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		lidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
9	1, 8	lidlrng 48154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
10	7, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
11		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
12	11	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 2	ring0cl 20265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	14, 16, 2	ringlz 20291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	17, 17	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
19	15, 18	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
20	2	fvexi 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
21		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 )
23	21, 22	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
24		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
25	24, 22	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
27	26	ralsng 4674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
28	20, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
29	19, 28	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦))
30		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
32	31	ovanraleqv 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
33	32	rexsng 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
34	20, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
35	29, 34	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
38	1, 8	lidlbas 21225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
39		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
40	38, 39	sylan9eqr 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
41	8, 16	ressmulr 17352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
42	41	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
44	43	oveqd 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
45	44	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
46	43	oveqd 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
47	46	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
48	45, 47	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
49	40, 48	raleqbidv 3345	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
50	40, 49	rexeqbidv 3346	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
51	37, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
53	13, 52	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
54	4, 53	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
55		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
56		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
57	55, 56	isringrng 20285	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
58	10, 54, 57	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Rngcrng 20150  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219

This theorem is referenced by:  uzlidlring  48156