Theorem zlidlring 48222

Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zlidlring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 21155	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
5		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
7	4, 6	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		lidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
9	1, 8	lidlrng 48221	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
10	7, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
11		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
12	11	eqcoms 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
14		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 2	ring0cl 20170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	14, 16, 2	ringlz 20196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	17, 17	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
19	15, 18	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
20	2	fvexi 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
21		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 )
23	21, 22	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
24		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
25	24, 22	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
27	26	ralsng 4629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
28	20, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
29	19, 28	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦))
30		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
31	30	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
32	31	ovanraleqv 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
33	32	rexsng 4630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
34	20, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
35	29, 34	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
38	1, 8	lidlbas 21139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
39		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
40	38, 39	sylan9eqr 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
41	8, 16	ressmulr 17229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
42	41	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
44	43	oveqd 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
45	44	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
46	43	oveqd 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
47	46	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
48	45, 47	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
49	40, 48	raleqbidv 3310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
50	40, 49	rexeqbidv 3311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
51	37, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
53	13, 52	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
54	4, 53	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
55		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
56		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
57	55, 56	isringrng 20190	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
58	10, 54, 57	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Rngcrng 20055  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133

This theorem is referenced by:  uzlidlring  48223