Theorem zlidlring 48594

Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zlidlring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 21197	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
5		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
7	4, 6	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		lidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
9	1, 8	lidlrng 48593	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
10	7, 9	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
11		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
12	11	eqcoms 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 2	ring0cl 20214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	14, 16, 2	ringlz 20240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	17, 17	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
19	15, 18	mpdan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
20	2	fvexi 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
21		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 )
23	21, 22	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
24		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
25	24, 22	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
26	23, 25	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
27	26	ralsng 4634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
28	20, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
29	19, 28	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦))
30		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
32	31	ovanraleqv 7392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
33	32	rexsng 4635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
34	20, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
35	29, 34	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
38	1, 8	lidlbas 21181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
39		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
40	38, 39	sylan9eqr 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
41	8, 16	ressmulr 17239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
42	41	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
44	43	oveqd 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
45	44	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
46	43	oveqd 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
47	46	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
48	45, 47	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
49	40, 48	raleqbidv 3318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
50	40, 49	rexeqbidv 3319	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
51	37, 50	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
53	13, 52	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
54	4, 53	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
55		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
56		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
57	55, 56	isringrng 20234	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
58	10, 54, 57	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  Rngcrng 20099  Ringcrg 20180  LIdealclidl 21173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175

This theorem is referenced by:  uzlidlring  48595