Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlidlring Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zlidlring 46826
Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
zlidlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zlidlring.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zlidlring ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Proof of Theorem zlidlring
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . 6 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
2 zlidlring.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2lidl0 20844 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ 𝐿)
43adantr 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ { 0 } ∈ 𝐿)
5 eleq1 2822 . . . . 5 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
65adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
74, 6mpbird 257 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
8 lidlabl.i . . . 4 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
91, 8lidlrng 46825 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
107, 9syldan 592 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
11 eleq1 2822 . . . . . 6 ({ 0 } = π‘ˆ β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
1211eqcoms 2741 . . . . 5 (π‘ˆ = { 0 } β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
1312adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1514, 2ring0cl 20084 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1714, 16, 2ringlz 20107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1817, 17jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
1915, 18mpdan 686 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
202fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ 𝑦 = 0 )
2321, 22eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
24 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
2524, 22eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
2623, 25anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ ((( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2726ralsng 4678 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2820, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2919, 28mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦))
30 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦))
3130eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦))
3231ovanraleqv 7433 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3332rexsng 4679 . . . . . . . . . 10 ( 0 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3420, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3529, 34mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
3736adantr 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
381, 8lidlbas 46755 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
39 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ π‘ˆ = { 0 })
4038, 39sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (Baseβ€˜πΌ) = { 0 })
418, 16ressmulr 17252 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
4241eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
4342adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
4443oveqd 7426 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦))
4544eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦))
4643oveqd 7426 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
4746eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
4845, 47anbi12d 632 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
4940, 48raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
5040, 49rexeqbidv 3344 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
5137, 50mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
5251ex 414 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
5313, 52sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
544, 53mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
55 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
56 eqid 2733 . . 3 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
5755, 56isringrng 46657 . 2 (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
5810, 54, 57sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  LIdealclidl 20783  Rngcrng 46648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rng 46649
This theorem is referenced by:  uzlidlring  46827
  Copyright terms: Public domain W3C validator