Theorem zlidlring 45113

Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zlidlring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 20229	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
5		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
7	4, 6	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		lidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
9	1, 8	lidlrng 45112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
10	7, 9	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
11		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
12	11	eqcoms 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
13	12	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
14		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 2	ring0cl 19559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	14, 16, 2	ringlz 19577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	17, 17	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
19	15, 18	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
20	2	fvexi 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
21		oveq2 7210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 )
23	21, 22	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
24		oveq1 7209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
25	24, 22	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
26	23, 25	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
27	26	ralsng 4579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
28	20, 27	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
29	19, 28	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦))
30		oveq1 7209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
31	30	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
32	31	ovanraleqv 7226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
33	32	rexsng 4580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
34	20, 33	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
35	29, 34	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
36	35	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
37	36	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
38	1, 8	lidlbas 45108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
39		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
40	38, 39	sylan9eqr 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
41	8, 16	ressmulr 16827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
42	41	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
44	43	oveqd 7219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
45	44	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
46	43	oveqd 7219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
47	46	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
48	45, 47	anbi12d 634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
49	40, 48	raleqbidv 3306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
50	40, 49	rexeqbidv 3307	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
51	37, 50	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
52	51	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
53	13, 52	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
54	4, 53	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
55		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
56		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
57	55, 56	isringrng 45066	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
58	10, 54, 57	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3401  {csn 4531  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684   ↾_s cress 16685  ._rcmulr 16768  0_gc0g 16916  Ringcrg 19534  LIdealclidl 20179  Rngcrng 45059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-0g 16918  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-subg 18512  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-subrg 19770  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-sra 20181  df-rgmod 20182  df-lidl 20183  df-rng0 45060

This theorem is referenced by:  uzlidlring  45114