Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlidlring Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zlidlring 46816
Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
zlidlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zlidlring.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zlidlring ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Proof of Theorem zlidlring
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . 6 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
2 zlidlring.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2lidl0 20843 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ 𝐿)
43adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ { 0 } ∈ 𝐿)
5 eleq1 2821 . . . . 5 (π‘ˆ = { 0 } β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
65adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
74, 6mpbird 256 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
8 lidlabl.i . . . 4 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
91, 8lidlrng 46815 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
107, 9syldan 591 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Rng)
11 eleq1 2821 . . . . . 6 ({ 0 } = π‘ˆ β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
1211eqcoms 2740 . . . . 5 (π‘ˆ = { 0 } β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
1312adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ π‘ˆ ∈ 𝐿))
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1514, 2ring0cl 20083 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1714, 16, 2ringlz 20106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1817, 17jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
1915, 18mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
202fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
21 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ 𝑦 = 0 )
2321, 22eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
24 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ))
2524, 22eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 0 β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ))
2623, 25anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 β†’ ((( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2726ralsng 4677 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2820, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )))
2919, 28mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦))
30 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦))
3130eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦))
3231ovanraleqv 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3332rexsng 4678 . . . . . . . . . 10 ( 0 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3420, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (( 0 (.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 𝑦)))
3529, 34mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
381, 8lidlbas 46745 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
39 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ π‘ˆ = { 0 })
4038, 39sylan9eqr 2794 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (Baseβ€˜πΌ) = { 0 })
418, 16ressmulr 17251 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
4241eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
4443oveqd 7425 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦))
4544eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦))
4643oveqd 7425 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
4746eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
4845, 47anbi12d 631 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
4940, 48raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
5040, 49rexeqbidv 3343 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ { 0 }βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
5137, 50mpbird 256 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
5251ex 413 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
5313, 52sylbid 239 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ ({ 0 } ∈ 𝐿 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
544, 53mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦))
55 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
56 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
5755, 56isringrng 46647 . 2 (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΌ)((π‘₯(.rβ€˜πΌ)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.rβ€˜πΌ)π‘₯) = 𝑦)))
5810, 54, 57sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ = { 0 }) β†’ 𝐼 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Ringcrg 20055  LIdealclidl 20782  Rngcrng 46638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rng 46639
This theorem is referenced by:  uzlidlring  46817
  Copyright terms: Public domain W3C validator