Theorem zlidlring 48999

Description: The zero (left) ideal of a non-unital ring is a unital ring (the zero ring). (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
zlidlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zlidlring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Proof of Theorem zlidlring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		zlidlring.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0 21356	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝐿)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → { 0 } ∈ 𝐿)
5		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 ↔ { 0 } ∈ 𝐿))
7	4, 6	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		lidlabl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
9	1, 8	lidlrng 48998	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝐼 ∈ Rng)
10	7, 9	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Rng)
11		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } = 𝑈 → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
12	11	eqcoms 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = { 0 } → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
13	12	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 ↔ 𝑈 ∈ 𝐿))
14		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	14, 2	ring0cl 20346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	14, 16, 2	ringlz 20372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	17, 17	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
19	15, 18	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
20	2	fvexi 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
21		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
22		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 )
23	21, 22	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
24		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = ( 0 (.r‘𝑅) 0 ))
25	24, 22	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ))
26	23, 25	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → ((( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
27	26	ralsng 4641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ V → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
28	20, 27	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦) ↔ (( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 ∧ ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )))
29	19, 28	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦))
30		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑦))
31	30	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
32	31	ovanraleqv 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
33	32	rexsng 4642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 ∈ V → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
34	20, 33	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } (( 0 (.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑦)))
35	29, 34	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
36	35	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
38	1, 8	lidlbas 21339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
39		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝑈 = { 0 })
40	38, 39	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) = { 0 })
41	8, 16	ressmulr 17355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
42	41	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
44	43	oveqd 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
45	44	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦))
46	43	oveqd 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
47	46	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
48	45, 47	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
49	40, 48	raleqbidv 3338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
50	40, 49	rexeqbidv 3339	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ { 0 }∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
51	37, 50	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
52	51	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → (𝑈 ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
53	13, 52	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ({ 0 } ∈ 𝐿 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
54	4, 53	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦))
55		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
56		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
57	55, 56	isringrng 20366	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝐼 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐼)((𝑥(.r‘𝐼)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝐼)𝑥) = 𝑦)))
58	10, 54, 57	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = { 0 }) → 𝐼 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Rngcrng 20225  Ringcrg 20310  LIdealclidl 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332

This theorem is referenced by:  uzlidlring  49000