Theorem pzriprnglem13 21400

Description: Lemma 13 for pzriprng 21404: 𝑄 is a unital ring. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem13	⊢ 𝑄 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem13

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21388	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
3		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21395	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
6	1, 3	pzriprnglem4 21391	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
7		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
8		pzriprng.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9	8	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
10	7, 9	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	10, 11	qus2idrng 21180	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
13	2, 5, 6, 12	mp3an 1463	. 2 ⊢ 𝑄 ∈ Rng
14		1z 12505	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		zex 12480	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
16		snex 5375	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ∈ V
17	15, 16	xpex 7689	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
18	17	snid 4614	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
19		sneq 4587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
20	19	xpeq2d 5649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
21	20	sneqd 4589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
22	21	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
23	22	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}) → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	14, 18, 23	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
25		eliun 4945	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
26	24, 25	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
27		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
28	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem11 21398	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
29	26, 28	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
30		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥))
31	30	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → ((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ↔ ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥))
32	31	ovanraleqv 7373	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
33		id 22	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄))
34	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem12 21399	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
36	35	ralrimiv 3120	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
37	32, 33, 36	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥))
38	29, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)
39		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
40		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
41	39, 40	isringrng 20172	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ Ring ↔ (𝑄 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)))
42	13, 38, 41	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑄 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {csn 4577  ∪ ciun 4941   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  ℤcz 12471  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  ._rcmulr 17162   /_s cqus 17409   ×_s cxps 17410  SubGrpcsubg 18999   ~_QG cqg 19001  Rngcrng 20037  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  2Idealc2idl 21156  ℤ_ringczring 21353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354

This theorem is referenced by:  pzriprnglem14  21401  pzriprngALT  21402  pzriprng1ALT  21403