Theorem pzriprnglem13 21462

Description: Lemma 13 for pzriprng 21466: 𝑄 is a unital ring. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem13	⊢ 𝑄 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem13

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21450	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
3		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21457	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
6	1, 3	pzriprnglem4 21453	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
7		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
8		pzriprng.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9	8	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
10	7, 9	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	10, 11	qus2idrng 21260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
13	2, 5, 6, 12	mp3an 1464	. 2 ⊢ 𝑄 ∈ Rng
14		1z 12546	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		zex 12522	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
16		snex 5370	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ∈ V
17	15, 16	xpex 7696	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
18	17	snid 4596	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
19		sneq 4567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
20	19	xpeq2d 5650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
21	20	sneqd 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
22	21	eleq2d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
23	22	rspcev 3562	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}) → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	14, 18, 23	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
25		eliun 4927	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
26	24, 25	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
27		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
28	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem11 21460	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
29	26, 28	eleqtrri 2834	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
30		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥))
31	30	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → ((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ↔ ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥))
32	31	ovanraleqv 7380	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
33		id 22	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄))
34	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem12 21461	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
36	35	ralrimiv 3126	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
37	32, 33, 36	rspcedvdw 3565	. . 3 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥))
38	29, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)
39		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
40		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
41	39, 40	isringrng 20257	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ Ring ↔ (𝑄 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)))
42	13, 38, 41	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑄 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∃wrex 3059  {csn 4557  ∪ ciun 4923   × cxp 5618  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  1c1 11028  ℤcz 12513  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  ._rcmulr 17210   /_s cqus 17458   ×_s cxps 17459  SubGrpcsubg 19085   ~_QG cqg 19087  Rngcrng 20122  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  2Idealc2idl 21236  ℤ_ringczring 21415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8764  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-prds 17399  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-lss 20916  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-lidl 21195  df-2idl 21237  df-cnfld 21342  df-zring 21416

This theorem is referenced by:  pzriprnglem14  21463  pzriprngALT  21464  pzriprng1ALT  21465