MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem13 21521
Description: Lemma 13 for pzriprng 21525: 𝑄 is a unital ring. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1r𝐽)
pzriprng.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q 𝑄 = (𝑅 /s )
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem13 𝑄 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem13
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . 4 𝑅 = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21509 . . 3 𝑅 ∈ Rng
3 pzriprng.i . . . 4 𝐼 = (ℤ × {0})
4 pzriprng.j . . . 4 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
51, 3, 4pzriprnglem8 21516 . . 3 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
61, 3pzriprnglem4 21512 . . 3 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
7 pzriprng.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s )
8 pzriprng.g . . . . . 6 = (𝑅 ~QG 𝐼)
98oveq2i 7441 . . . . 5 (𝑅 /s ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
107, 9eqtri 2762 . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
11 eqid 2734 . . . 4 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
1210, 11qus2idrng 21300 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
132, 5, 6, 12mp3an 1460 . 2 𝑄 ∈ Rng
14 1z 12644 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
15 zex 12619 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
16 snex 5441 . . . . . . . 8 {1} ∈ V
1715, 16xpex 7771 . . . . . . 7 (ℤ × {1}) ∈ V
1817snid 4666 . . . . . 6 (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
19 sneq 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
2019xpeq2d 5718 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
2120sneqd 4642 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
2221eleq2d 2824 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
2322rspcev 3621 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}) → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
2414, 18, 23mp2an 692 . . . . 5 𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
25 eliun 4999 . . . . 5 ((ℤ × {1}) ∈ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
2624, 25mpbir 231 . . . 4 (ℤ × {1}) ∈ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
27 pzriprng.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
281, 3, 4, 27, 8, 7pzriprnglem11 21519 . . . 4 (Base‘𝑄) = 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
2926, 28eleqtrri 2837 . . 3 (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
30 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑖 = (ℤ × {1}) → (𝑖(.r𝑄)𝑥) = ((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥))
3130eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝑖 = (ℤ × {1}) → ((𝑖(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ↔ ((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥) = 𝑥))
3231ovanraleqv 7454 . . . 4 (𝑖 = (ℤ × {1}) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
33 id 22 . . . 4 ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄))
341, 3, 4, 27, 8, 7pzriprnglem12 21520 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
3534a1i 11 . . . . 5 ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
3635ralrimiv 3142 . . . 4 ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
3732, 33, 36rspcedvdw 3624 . . 3 ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)𝑖) = 𝑥))
3829, 37ax-mp 5 . 2 𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)𝑖) = 𝑥)
39 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
40 eqid 2734 . . 3 (.r𝑄) = (.r𝑄)
4139, 40isringrng 20300 . 2 (𝑄 ∈ Ring ↔ (𝑄 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑄)𝑖) = 𝑥)))
4213, 38, 41mpbir2an 711 1 𝑄 ∈ Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {csn 4630   ciun 4995   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  cz 12610  Basecbs 17244  s cress 17273  .rcmulr 17298   /s cqus 17551   ×s cxps 17552  SubGrpcsubg 19150   ~QG cqg 19152  Rngcrng 20169  1rcur 20198  Ringcrg 20250  2Idealc2idl 21276  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by:  pzriprnglem14  21522  pzriprngALT  21523  pzriprng1ALT  21524
  Copyright terms: Public domain W3C validator