Theorem pzriprnglem13 21654

Description: Lemma 13 for pzriprng 21658: 𝑄 is a unital ring. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem13	⊢ 𝑄 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem13

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21642	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
3		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21649	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
6	1, 3	pzriprnglem4 21645	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
7		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
8		pzriprng.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9	8	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
10	7, 9	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	10, 11	qus2idrng 21423	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
13	2, 5, 6, 12	mp3an 1489	. 2 ⊢ 𝑄 ∈ Rng
14		1z 12630	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		zex 12606	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
16		snex 5409	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ∈ V
17	15, 16	xpex 7750	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
18	17	snid 4627	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
19		sneq 4598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
20	19	xpeq2d 5690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
21	20	sneqd 4600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
22	21	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
23	22	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}) → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	14, 18, 23	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
25		eliun 4959	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
26	24, 25	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
27		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
28	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem11 21652	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
29	26, 28	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
30		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥))
31	30	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → ((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ↔ ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥))
32	31	ovanraleqv 7436	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
33		id 23	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄))
34	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem12 21653	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
36	35	ralrimiv 3155	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
37	32, 33, 36	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥))
38	29, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)
39		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
40		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
41	39, 40	isringrng 20377	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ Ring ↔ (𝑄 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)))
42	13, 38, 41	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝑄 ∈ Ring

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {csn 4588  ∪ ciun 4955   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107  ℤcz 12597  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  ._rcmulr 17317   /_s cqus 17565   ×_s cxps 17566  SubGrpcsubg 19192   ~_QG cqg 19194  Rngcrng 20236  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  2Idealc2idl 21399  ℤ_ringczring 21607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-prds 17506  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-2idl 21400  df-cnfld 21534  df-zring 21608

This theorem is used by:  pzriprnglem14  21655  pzriprngALT  21656  pzriprng1ALT  21657