Theorem pzriprnglem13 21552

Description: Lemma 13 for pzriprng 21556: 𝑄 is a unital ring. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem13	⊢ 𝑄 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem13

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2	1	pzriprnglem1 21540	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
3		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	1, 3, 4	pzriprnglem8 21547	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)
6	1, 3	pzriprnglem4 21543	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
7		pzriprng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
8		pzriprng.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9	8	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
10	7, 9	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
12	10, 11	qus2idrng 21350	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
13	2, 5, 6, 12	mp3an 1483	. 2 ⊢ 𝑄 ∈ Rng
14		1z 12611	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
15		zex 12587	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ∈ V
16		snex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {1} ∈ V
17	15, 16	xpex 7736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
18	17	snid 4622	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
19		sneq 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
20	19	xpeq2d 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
21	20	sneqd 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
22	21	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
23	22	rspcev 3582	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}) → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	14, 18, 23	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
25		eliun 4954	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
26	24, 25	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
27		pzriprng.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
28	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem11 21550	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
29	26, 28	eleqtrri 2862	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
30		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥))
31	30	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → ((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ↔ ((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥))
32	31	ovanraleqv 7420	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {1}) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
33		id 22	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄))
34	1, 3, 4, 27, 8, 7	pzriprnglem12 21551	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)))
36	35	ralrimiv 3154	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
37	32, 33, 36	rspcedvdw 3585	. . 3 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥))
38	29, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)
39		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
40		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
41	39, 40	isringrng 20347	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ Ring ↔ (𝑄 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑄)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)((𝑖(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)𝑖) = 𝑥)))
42	13, 38, 41	mpbir2an 721	1 ⊢ 𝑄 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {csn 4583  ∪ ciun 4950   × cxp 5646  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11084  1c1 11085  ℤcz 12578  Basecbs 17255   ↾_s cress 17276  ._rcmulr 17297   /_s cqus 17545   ×_s cxps 17546  SubGrpcsubg 19172   ~_QG cqg 19174  Rngcrng 20208  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  2Idealc2idl 21326  ℤ_ringczring 21505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-addf 11163  ax-mulf 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-prds 17486  df-imas 17548  df-qus 17549  df-xps 17550  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-nsg 19176  df-eqg 19177  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-cring 20296  df-oppr 20396  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lss 21006  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-lidl 21285  df-2idl 21327  df-cnfld 21432  df-zring 21506

This theorem is referenced by:  pzriprnglem14  21553  pzriprngALT  21554  pzriprng1ALT  21555