Theorem lcmabs 16760

Description: The lcm of two integers is the same as that of their absolute values. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmabs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12678	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12678	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		absor 15447	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
4		absor 15447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
5	3, 4	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
7		oveq12 7421	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
9		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm 𝑁))
10		neglcm 16759	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
11	9, 10	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
13		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm -𝑁))
14		lcmneg 16758	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
15	13, 14	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
16	15	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
17		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm -𝑁))
18		znegcl 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
19		lcmneg 16758	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
20	18, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
21	20, 10	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	22	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
24	8, 12, 16, 23	ccased 1054	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
25	6, 24	mpd 16	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  -cneg 11523  ℤcz 12674  abscabs 15381   lcm clcm 16743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-lcm 16745

This theorem is used by:  lcmgcd  16762  lcmdvds  16763  lcmgcdeq  16767