Theorem lcmabs 15698

Description: The lcm of two integers is the same as that of their absolute values. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmabs	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11715	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 11715	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		absor 14424	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
4		absor 14424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
5	3, 4	anim12i 606	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
6	1, 2, 5	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
7		oveq12 6919	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
9		oveq12 6919	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm 𝑁))
10		neglcm 15697	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
11	9, 10	sylan9eqr 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
12	11	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
13		oveq12 6919	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm -𝑁))
14		lcmneg 15696	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
15	13, 14	sylan9eqr 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
16	15	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
17		oveq12 6919	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm -𝑁))
18		znegcl 11747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
19		lcmneg 15696	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
20	18, 19	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
21	20, 10	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	sylan9eqr 2883	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	22	ex 403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
24	8, 12, 16, 23	ccased 1065	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
25	6, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  -cneg 10593  ℤcz 11711  abscabs 14358   lcm clcm 15681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-lcm 15683

This theorem is referenced by:  lcmgcd  15700  lcmdvds  15701  lcmgcdeq  15705