Theorem lcmass 16704

Description: Associative law for lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)))

Proof of Theorem lcmass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orass 935	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
2		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)))
3	2	rabbii 3417	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}
4	3	infeq1i 9449	. . 3 ⊢ inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4508	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < ))
6		lcmcl 16691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12640	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℤ)
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
10		lcmval 16682	. . . 4 ⊢ (((𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
12		lcmeq0 16690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0)))
13	12	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0)))
14	13	orbi1d 930	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0)))
15	14	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
16		nnz 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		lcmdvdsb 16703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥))
23	22	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)))
24	23	rabbidva 3418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)})
25	24	infeq1d 9448	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
26	15, 25	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
27	11, 26	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
28		lcmcl 16691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12640	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℤ)
31		lcmval 16682	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
32	18, 30, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
33		lcmeq0 16690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
34	33	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
35	34	orbi2d 929	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0))))
36	35	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0)))
37	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
38		lcmdvdsb 16703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥))
39	17, 20, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥))
40	39	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)))
41	40	rabbidva 3418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)})
42	41	infeq1d 9448	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
43	36, 42	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
44	32, 43	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )))
45	5, 27, 44	3eqtr4a 2821	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ifcif 4482   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  infcinf 9411  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16342   lcm clcm 16678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-lcm 16680

This theorem is used by:  lcmfunsnlem2lem2  16729  lcmfun  16735