Theorem lcmass 16560

Description: Associative law for lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)))

Proof of Theorem lcmass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orass 921	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
2		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)))
3	2	rabbii 3408	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}
4	3	infeq1i 9406	. . 3 ⊢ inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4510	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < ))
6		lcmcl 16547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℤ)
9		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
10		lcmval 16538	. . . 4 ⊢ (((𝑁 lcm 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
12		lcmeq0 16546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0)))
13	12	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0)))
14	13	orbi1d 916	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0)))
15	14	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
16		nnz 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
18		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		lcmdvdsb 16559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥))
23	22	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)))
24	23	rabbidva 3409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)})
25	24	infeq1d 9405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
26	15, 25	ifbieq2d 4511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 lcm 𝑀) = 0 ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 lcm 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
27	11, 26	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∨ 𝑀 = 0) ∨ 𝑃 = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ 𝑀 ∥ 𝑥) ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
28		lcmcl 16547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℤ)
31		lcmval 16538	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
32	18, 30, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
33		lcmeq0 16546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
34	33	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)))
35	34	orbi2d 915	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0))))
36	35	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0)))
37	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
38		lcmdvdsb 16559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥))
39	17, 20, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥))
40	39	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)))
41	40	rabbidva 3409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)})
42	41	infeq1d 9405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
43	36, 42	ifbieq2d 4511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 lcm 𝑃) = 0), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 lcm 𝑃) ∥ 𝑥)}, ℝ, < )))
44	32, 43	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∨ (𝑀 = 0 ∨ 𝑃 = 0)), 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑁 ∥ 𝑥 ∧ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑃 ∥ 𝑥))}, ℝ, < )))
45	5, 27, 44	3eqtr4a 2790	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 lcm 𝑀) lcm 𝑃) = (𝑁 lcm (𝑀 lcm 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  ifcif 4484   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  infcinf 9368  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505   ∥ cdvds 16198   lcm clcm 16534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-lcm 16536

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2lem2  16585  lcmfun  16591