Theorem lkreqN 39126

Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkreq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lkreq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkreq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lkreqN	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Proof of Theorem lkreqN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkreq.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
2	1	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷)))
3		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lkreq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9		lkreq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10		lkreq.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11	9, 10	lduallvec 39110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
12		lkreq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
14		lkreq.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15		lkreq.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
16	14, 15, 9, 5, 6, 10	ldualsbase 39089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
17	13, 16	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18		lkreq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19		lkreq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
20	18, 9, 3, 10, 19	ldualelvbase 39083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20	lvecvs0or 21133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
22		lkreq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		lveclmod 21128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
25	14, 22, 9, 5, 7, 24	ldual0 39103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
26	25	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27		eldifsni 4815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
28	12, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
29	28	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0 ))
30	29	necon4d 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
31	26, 30	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
32		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
33	31, 32	jaod 858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
34	21, 33	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
35	2, 34	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
36		nne 2950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ↔ 𝐻 = (0g‘𝐷))
37	35, 36	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷)))
38	37	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
39	38	orrd 862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
40		ianor 982	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
41	39, 40	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
42		lkreq.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
43	18, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19	ldualvscl 39095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
44	1, 43	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
45	18, 42, 9, 8, 10, 19, 44	lkrpssN 39119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
46		df-pss 3996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
47	45, 46	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
48	14, 15, 18, 42, 9, 4, 10, 19, 13	lkrss 39124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
49	1	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
50	48, 49	sseqtrrd 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺))
51	50	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
52	47, 51	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
53	52	necon2bbid 2990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
54	41, 53	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺))
55	54	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LVecclvec 21124  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080

This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  39127  lcdlkreq2N  41580