Theorem lkreqN 39662

Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkreq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lkreq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkreq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lkreqN	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Proof of Theorem lkreqN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkreq.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
2	1	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷)))
3		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lkreq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
5		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9		lkreq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10		lkreq.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11	9, 10	lduallvec 39646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
12		lkreq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
14		lkreq.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15		lkreq.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
16	14, 15, 9, 5, 6, 10	ldualsbase 39625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
17	13, 16	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18		lkreq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19		lkreq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
20	18, 9, 3, 10, 19	ldualelvbase 39619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20	lvecvs0or 21101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
22		lkreq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		lveclmod 21096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
25	14, 22, 9, 5, 7, 24	ldual0 39639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
26	25	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
28	12, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
29	28	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0 ))
30	29	necon4d 2958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
31	26, 30	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
32		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
33	31, 32	jaod 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
34	21, 33	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
35	2, 34	sylbid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
36		nne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ↔ 𝐻 = (0g‘𝐷))
37	35, 36	imbitrrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷)))
38	37	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
39	38	orrd 869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
40		ianor 989	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
41	39, 40	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
42		lkreq.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
43	18, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19	ldualvscl 39631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
44	1, 43	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
45	18, 42, 9, 8, 10, 19, 44	lkrpssN 39655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
46		df-pss 3903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
47	45, 46	bitr3di 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
48	14, 15, 18, 42, 9, 4, 10, 19, 13	lkrss 39660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
49	1	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
50	48, 49	sseqtrrd 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺))
51	50	biantrurd 537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
52	47, 51	bitr4d 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
53	52	necon2bbid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
54	41, 53	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺))
55	54	eqcomd 2745	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  LFnlclfn 39549  LKerclk 39577  LDualcld 39615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20485  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lshyp 39469  df-lfl 39550  df-lkr 39578  df-ldual 39616

This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  39663  lcdlkreq2N  42115