Theorem lkreqN 40207

Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkreq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lkreq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkreq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lkreqN	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Proof of Theorem lkreqN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkreq.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷)))
3		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lkreq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9		lkreq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10		lkreq.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11	9, 10	lduallvec 40191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
12		lkreq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
14		lkreq.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15		lkreq.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
16	14, 15, 9, 5, 6, 10	ldualsbase 40170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
17	13, 16	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18		lkreq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19		lkreq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
20	18, 9, 3, 10, 19	ldualelvbase 40164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20	lvecvs0or 21379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
22		lkreq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		lveclmod 21374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
25	14, 22, 9, 5, 7, 24	ldual0 40184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
26	25	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
28	12, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
29	28	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0 ))
30	29	necon4d 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
31	26, 30	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
32		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
33	31, 32	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
34	21, 33	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
35	2, 34	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
36		nne 2960	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ↔ 𝐻 = (0g‘𝐷))
37	35, 36	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷)))
38	37	con3d 153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
39	38	orrd 877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
40		ianor 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
41	39, 40	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
42		lkreq.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
43	18, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19	ldualvscl 40176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
44	1, 43	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
45	18, 42, 9, 8, 10, 19, 44	lkrpssN 40200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
46		df-pss 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
47	45, 46	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
48	14, 15, 18, 42, 9, 4, 10, 19, 13	lkrss 40205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
49	1	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
50	48, 49	sseqtrrd 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺))
51	50	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
52	47, 51	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
53	52	necon2bbid 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
54	41, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺))
55	54	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  LModclmod 21128  LVecclvec 21370  LFnlclfn 40094  LKerclk 40122  LDualcld 40160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-nzr 20756  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371  df-lshyp 40014  df-lfl 40095  df-lkr 40123  df-ldual 40161

This theorem is used by:  lkrlspeqN  40208  lcdlkreq2N  42660