Theorem lkreqN 37184

Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkreq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lkreq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkreq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lkreqN	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Proof of Theorem lkreqN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkreq.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
2	1	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷)))
3		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lkreq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9		lkreq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10		lkreq.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11	9, 10	lduallvec 37168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
12		lkreq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
14		lkreq.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15		lkreq.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
16	14, 15, 9, 5, 6, 10	ldualsbase 37147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
17	13, 16	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18		lkreq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19		lkreq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
20	18, 9, 3, 10, 19	ldualelvbase 37141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20	lvecvs0or 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
22		lkreq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		lveclmod 20368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
25	14, 22, 9, 5, 7, 24	ldual0 37161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
26	25	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
28	12, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
29	28	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0 ))
30	29	necon4d 2967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
31	26, 30	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
32		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
33	31, 32	jaod 856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
34	21, 33	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
35	2, 34	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
36		nne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ↔ 𝐻 = (0g‘𝐷))
37	35, 36	syl6ibr 251	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷)))
38	37	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
39	38	orrd 860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
40		ianor 979	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
41	39, 40	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
42		lkreq.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
43	18, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19	ldualvscl 37153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
44	1, 43	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
45	18, 42, 9, 8, 10, 19, 44	lkrpssN 37177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
46		df-pss 3906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
47	45, 46	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
48	14, 15, 18, 42, 9, 4, 10, 19, 13	lkrss 37182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
49	1	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
50	48, 49	sseqtrrd 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺))
51	50	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
52	47, 51	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
53	52	necon2bbid 2987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
54	41, 53	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺))
55	54	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  LFnlclfn 37071  LKerclk 37099  LDualcld 37137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lshyp 36991  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138

This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  37185  lcdlkreq2N  39637