Theorem lkreqN 40493

Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkreq.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lkreq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkreq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lkreqN	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Proof of Theorem lkreqN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkreq.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
2	1	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷)))
3		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lkreq.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
9		lkreq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10		lkreq.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11	9, 10	lduallvec 40477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
12		lkreq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 4054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
14		lkreq.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15		lkreq.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
16	14, 15, 9, 5, 6, 10	ldualsbase 40456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
17	13, 16	eleqtrrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18		lkreq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19		lkreq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
20	18, 9, 3, 10, 19	ldualelvbase 40450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
21	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20	lvecvs0or 21437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷))))
22		lkreq.o	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
23		lveclmod 21432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
25	14, 22, 9, 5, 7, 24	ldual0 40470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27		eldifsni 4755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
28	12, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
29	28	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → 𝐴 ≠ 0 ))
30	29	necon4d 2983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
31	26, 30	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
32		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
33	31, 32	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g‘𝐷)) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
34	21, 33	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
35	2, 34	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → 𝐻 = (0g‘𝐷)))
36		nne 2963	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ↔ 𝐻 = (0g‘𝐷))
37	35, 36	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = (0g‘𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷)))
38	37	con3d 153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
39	38	orrd 877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
40		ianor 997	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
41	39, 40	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)))
42		lkreq.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
43	18, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19	ldualvscl 40462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
44	1, 43	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
45	18, 42, 9, 8, 10, 19, 44	lkrpssN 40486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
46		df-pss 4017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾‘𝐻) ⊊ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
47	45, 46	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
48	14, 15, 18, 42, 9, 4, 10, 19, 13	lkrss 40491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
49	1	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
50	48, 49	sseqtrrd 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺))
51	50	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝐾‘𝐻) ⊆ (𝐾‘𝐺) ∧ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺))))
52	47, 51	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷)) ↔ (𝐾‘𝐻) ≠ (𝐾‘𝐺)))
53	52	necon2bbid 3002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g‘𝐷) ∧ 𝐺 = (0g‘𝐷))))
54	41, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐻) = (𝐾‘𝐺))
55	54	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LModclmod 21186  LVecclvec 21428  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408  LDualcld 40446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lshyp 40300  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447

This theorem is used by:  lkrlspeqN  40494  lcdlkreq2N  42946