Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkreqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkreqN 35863
Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkreq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o 0 = (0g𝑆)
lkreq.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkreq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h (𝜑𝐻𝐹)
lkreq.g (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
Assertion
Ref Expression
lkreqN (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))

Proof of Theorem lkreqN
StepHypRef Expression
1 lkreq.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
21eqeq1d 2797 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷)))
3 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 lkreq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝐷)
5 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (0g𝐷) = (0g𝐷)
9 lkreq.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10 lkreq.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
119, 10lduallvec 35847 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ LVec)
12 lkreq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑅)
14 lkreq.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15 lkreq.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
1614, 15, 9, 5, 6, 10ldualsbase 35826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
1713, 16eleqtrrd 2886 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18 lkreq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19 lkreq.h . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻𝐹)
2018, 9, 3, 10, 19ldualelvbase 35820 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
213, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20lvecvs0or 19575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷))))
22 lkreq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑆)
23 lveclmod 19573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2514, 22, 9, 5, 7, 24ldual0 35840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
2625eqeq2d 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27 eldifsni 4633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
2812, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴0 )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g𝐷) → 𝐴0 ))
3029necon4d 3008 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = 0𝐻 = (0g𝐷)))
3126, 30sylbid 241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
32 idd 24 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3331, 32jaod 854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3421, 33sylbid 241 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
352, 34sylbid 241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
36 nne 2988 . . . . . . 7 𝐻 ≠ (0g𝐷) ↔ 𝐻 = (0g𝐷))
3735, 36syl6ibr 253 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷)))
3837con3d 155 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
3938orrd 858 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
40 ianor 976 . . . 4 (¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
4139, 40sylibr 235 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)))
42 df-pss 3880 . . . . . 6 ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
43 lkreq.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4418, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19ldualvscl 35832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
451, 44eqeltrd 2883 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
4618, 43, 9, 8, 10, 19, 45lkrpssN 35856 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
4742, 46syl5rbbr 287 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
4814, 15, 18, 43, 9, 4, 10, 19, 13lkrss 35861 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
491fveq2d 6547 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
5048, 49sseqtr4d 3933 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺))
5150biantrurd 533 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
5247, 51bitr4d 283 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
5352necon2bbid 3027 . . 3 (𝜑 → ((𝐾𝐻) = (𝐾𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
5441, 53mpbird 258 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐻) = (𝐾𝐺))
5554eqcomd 2801 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cdif 3860  wss 3863  wpss 3864  {csn 4476  cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  Scalarcsca 16402   ·𝑠 cvsca 16403  0gc0g 16547  LModclmod 19329  LVecclvec 19569  LFnlclfn 35750  LKerclk 35778  LDualcld 35816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-0g 16549  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-subg 18035  df-cntz 18193  df-lsm 18496  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-drng 19199  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-lvec 19570  df-lshyp 35670  df-lfl 35751  df-lkr 35779  df-ldual 35817
This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  35864  lcdlkreq2N  38316
  Copyright terms: Public domain W3C validator