Theorem ldualgrp 39112

Description: The dual of a vector space is a group. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrp	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualgrp.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ ∘f (+g‘𝑊) = ∘f (+g‘𝑊)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2729	. 2 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2729	. 2 ⊢ (oppr‘(Scalar‘𝑊)) = (oppr‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualgrplem 39111	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499   ∘_f cof 7631  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18841  opp_rcoppr 20221  LModclmod 20742  LFnlclfn 39023  LDualcld 39089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lfl 39024  df-ldual 39090

This theorem is referenced by:  ldual0v  39116  lduallmodlem  39118  lcfrlem33  41542