Theorem lkrlspeqN 40229

Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlspeq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlspeq.j	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lkrlspeqN	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrlspeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 4051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3		lkrlspeq.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		lkrlspeq.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	lduallmod 40211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
8		lkrlspeq.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10		lkrlspeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	8, 3, 9, 4, 10	ldualelvbase 40185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		lkrlspeq.j	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
16	12, 13, 9, 14, 15	ellspsn 21278	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	7, 11, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	2, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	19, 20, 3, 12, 13, 4	ldualsbase 40191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	18, 21	rexeqtrdv 3322	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lkrlspeq.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
25	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
26		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
28		eldifsni 4752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺 ≠ 0 )
29	1, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
30	29	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 ≠ 0 )
31	27, 30	eqnetrrd 3023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 )
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
33	19, 23, 3, 12, 32, 6	ldual0 40205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	34	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
36		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
37	35, 36	biimtrrdi 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
38		lkrlspeq.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39	3, 4	lduallvec 40212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
40	39	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
41	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	26, 41	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
43	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
44	9, 14, 12, 13, 32, 38, 40, 42, 43	lvecvs0or 21386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
45	37, 44	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ))
46	45	necon3d 2976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
47	31, 46	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48		eldifsn 4747	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
49	26, 47, 48	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
50	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
51	19, 20, 23, 8, 24, 3, 14, 25, 49, 50, 27	lkreqN 40228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))
52	51	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)))
53	22, 52	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  LModclmod 21135  LSpanclspn 21246  LVecclvec 21377  LFnlclfn 40115  LKerclk 40143  LDualcld 40181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lshyp 40035  df-lfl 40116  df-lkr 40144  df-ldual 40182

This theorem is used by:  lcdlkreqN  42680