Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlspeqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlspeqN 38699
Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlspeq.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrlspeq.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrlspeq.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrlspeq.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrlspeq.j 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
lkrlspeq.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lkrlspeq.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((π‘β€˜{𝐻}) βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lkrlspeqN (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»))

Proof of Theorem lkrlspeqN
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrlspeq.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((π‘β€˜{𝐻}) βˆ– { 0 }))
21eldifad 3951 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (π‘β€˜{𝐻}))
3 lkrlspeq.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
4 lkrlspeq.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lveclmod 20995 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
73, 6lduallmod 38681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
8 lkrlspeq.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
10 lkrlspeq.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
118, 3, 9, 4, 10ldualelvbase 38655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
13 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
14 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
15 lkrlspeq.j . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π·)
1612, 13, 9, 14, 15lspsnel 20891 . . . . 5 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝐺 ∈ (π‘β€˜{𝐻}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
177, 11, 16syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘β€˜{𝐻}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
182, 17mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
19 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
20 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2119, 20, 3, 12, 13, 4ldualsbase 38661 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221rexeqdv 3316 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
2318, 22mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
24 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
25 lkrlspeq.l . . . 4 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
2643ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
27 simp2 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
28 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
29 eldifsni 4789 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((π‘β€˜{𝐻}) βˆ– { 0 }) β†’ 𝐺 β‰  0 )
301, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
31303ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ 𝐺 β‰  0 )
3228, 31eqnetrrd 2999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) β‰  0 )
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·))
3419, 24, 3, 12, 33, 6ldual0 38675 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3635eqeq2d 2736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ↔ π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
37 orc 865 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∨ 𝐻 = 0 ))
3836, 37syl6bir 253 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39 lkrlspeq.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π·)
403, 4lduallvec 38682 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LVec)
41403ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ 𝐷 ∈ LVec)
42213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4327, 42eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
44113ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
459, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44lvecvs0or 21000 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) = 0 ↔ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∨ 𝐻 = 0 )))
4638, 45sylibrd 258 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (π‘˜ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) = 0 ))
4746necon3d 2951 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) β‰  0 β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4832, 47mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
49 eldifsn 4786 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘˜ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
5027, 48, 49sylanbrc 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ π‘˜ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
51103ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
5219, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28lkreqN 38698 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»))
5352rexlimdv3a 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))𝐺 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)))
5423, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  LDualcld 38651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lshyp 38505  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652
This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  41151
  Copyright terms: Public domain W3C validator