Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlspeqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlspeqN 35325
Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlspeq.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o 0 = (0g𝐷)
lkrlspeq.j 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h (𝜑𝐻𝐹)
lkrlspeq.g (𝜑𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lkrlspeqN (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrlspeq.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
21eldifad 3804 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3 lkrlspeq.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4 lkrlspeq.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19501 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
73, 6lduallmod 35307 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
8 lkrlspeq.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10 lkrlspeq.h . . . . . 6 (𝜑𝐻𝐹)
118, 3, 9, 4, 10ldualelvbase 35281 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12 eqid 2778 . . . . . 6 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14 eqid 2778 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
15 lkrlspeq.j . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
1612, 13, 9, 14, 15lspsnel 19398 . . . . 5 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
177, 11, 16syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
182, 17mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
19 eqid 2778 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2119, 20, 3, 12, 13, 4ldualsbase 35287 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221rexeqdv 3341 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)))
2318, 22mpbid 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
24 eqid 2778 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25 lkrlspeq.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑊)
2643ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
27 simp2 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28 simp3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻))
29 eldifsni 4553 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺0 )
301, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺0 )
31303ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐺0 )
3228, 31eqnetrrd 3037 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ≠ 0 )
33 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
3419, 24, 3, 12, 33, 6ldual0 35301 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35343ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3635eqeq2d 2788 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
37 orc 856 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
3836, 37syl6bir 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39 lkrlspeq.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐷)
403, 4lduallvec 35308 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ LVec)
41403ad2ant1 1124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
42213ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4327, 42eleqtrrd 2862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
44113ad2ant1 1124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
459, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44lvecvs0or 19503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
4638, 45sylibrd 251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) = 0 ))
4746necon3d 2990 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) ≠ 0𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4832, 47mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49 eldifsn 4550 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5027, 48, 49sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
51103ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → 𝐻𝐹)
5219, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28lkreqN 35324 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
5352rexlimdv3a 3215 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐻) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)))
5423, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091  cdif 3789  {csn 4398  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  LVecclvec 19497  LFnlclfn 35211  LKerclk 35239  LDualcld 35277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lshyp 35131  df-lfl 35212  df-lkr 35240  df-ldual 35278
This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  37776
  Copyright terms: Public domain W3C validator