Theorem lkrlspeqN 38554

Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlspeq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlspeq.j	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lkrlspeqN	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrlspeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3		lkrlspeq.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		lkrlspeq.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 20954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	lduallmod 38536	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
8		lkrlspeq.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10		lkrlspeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	8, 3, 9, 4, 10	ldualelvbase 38510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		lkrlspeq.j	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
16	12, 13, 9, 14, 15	lspsnel 20850	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	7, 11, 16	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	2, 17	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
19		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	19, 20, 3, 12, 13, 4	ldualsbase 38516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	rexeqdv 3320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
23	18, 22	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
24		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		lkrlspeq.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
26	4	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
27		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
29		eldifsni 4788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺 ≠ 0 )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
31	30	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 ≠ 0 )
32	28, 31	eqnetrrd 3003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 )
33		eqid 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
34	19, 24, 3, 12, 33, 6	ldual0 38530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	35	eqeq2d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
37		orc 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
38	36, 37	syl6bir 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39		lkrlspeq.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
40	3, 4	lduallvec 38537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
41	40	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
42	21	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	27, 42	eleqtrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
44	11	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
45	9, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44	lvecvs0or 20959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
46	38, 45	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ))
47	46	necon3d 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
48	32, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49		eldifsn 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	27, 48, 49	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
51	10	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
52	19, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28	lkreqN 38553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))
53	52	rexlimdv3a 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)))
54	23, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3940  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468  LDualcld 38506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  41006