Theorem lkrlspeqN 36467

Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlspeq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlspeq.j	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lkrlspeqN	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrlspeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3		lkrlspeq.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		lkrlspeq.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 19871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	lduallmod 36449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
8		lkrlspeq.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10		lkrlspeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	8, 3, 9, 4, 10	ldualelvbase 36423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		lkrlspeq.j	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
16	12, 13, 9, 14, 15	lspsnel 19768	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	7, 11, 16	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	2, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
19		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	19, 20, 3, 12, 13, 4	ldualsbase 36429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	rexeqdv 3365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
24		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		lkrlspeq.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
26	4	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
27		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
29		eldifsni 4683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺 ≠ 0 )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
31	30	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 ≠ 0 )
32	28, 31	eqnetrrd 3055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 )
33		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
34	19, 24, 3, 12, 33, 6	ldual0 36443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	35	eqeq2d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
37		orc 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
38	36, 37	syl6bir 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39		lkrlspeq.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
40	3, 4	lduallvec 36450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
41	40	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
42	21	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	27, 42	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
44	11	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
45	9, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44	lvecvs0or 19873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
46	38, 45	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ))
47	46	necon3d 3008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
48	32, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49		eldifsn 4680	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	27, 48, 49	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
51	10	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
52	19, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28	lkreqN 36466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))
53	52	rexlimdv3a 3245	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)))
54	23, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867  LFnlclfn 36353  LKerclk 36381  LDualcld 36419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lshyp 36273  df-lfl 36354  df-lkr 36382  df-ldual 36420

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  38918