Theorem lkrlspeqN 38029

Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlspeq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlspeq.j	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lkrlspeqN	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrlspeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3		lkrlspeq.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		lkrlspeq.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 20709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	lduallmod 38011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
8		lkrlspeq.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10		lkrlspeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	8, 3, 9, 4, 10	ldualelvbase 37985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		lkrlspeq.j	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
16	12, 13, 9, 14, 15	lspsnel 20606	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	7, 11, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	2, 17	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
19		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	19, 20, 3, 12, 13, 4	ldualsbase 37991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	rexeqdv 3326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
23	18, 22	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
24		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		lkrlspeq.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
26	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
27		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
28		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
29		eldifsni 4792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺 ≠ 0 )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 ≠ 0 )
32	28, 31	eqnetrrd 3009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 )
33		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
34	19, 24, 3, 12, 33, 6	ldual0 38005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	35	eqeq2d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
37		orc 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
38	36, 37	syl6bir 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
39		lkrlspeq.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
40	3, 4	lduallvec 38012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
42	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
43	27, 42	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
44	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
45	9, 14, 12, 13, 33, 39, 41, 43, 44	lvecvs0or 20713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
46	38, 45	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ))
47	46	necon3d 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
48	32, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
49		eldifsn 4789	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
50	27, 48, 49	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
51	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
52	19, 20, 24, 8, 25, 3, 14, 26, 50, 51, 28	lkreqN 38028	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))
53	52	rexlimdv3a 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)))
54	23, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LFnlclfn 37915  LKerclk 37943  LDualcld 37981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982

This theorem is referenced by:  lcdlkreqN  40481