Theorem lkrlspeqN 40109

Description: Condition for colinear functionals to have equal kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlspeq.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlspeq.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrlspeq.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrlspeq.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlspeq.j	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lkrlspeq.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrlspeq.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lkrlspeq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lkrlspeqN	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

Proof of Theorem lkrlspeqN

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrlspeq.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}))
3		lkrlspeq.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		lkrlspeq.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7	3, 6	lduallmod 40091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
8		lkrlspeq.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
10		lkrlspeq.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	8, 3, 9, 4, 10	ldualelvbase 40065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		lkrlspeq.j	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
16	12, 13, 9, 14, 15	ellspsn 21217	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	7, 11, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐻}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	2, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
21	19, 20, 3, 12, 13, 4	ldualsbase 40071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	18, 21	rexeqtrdv 3322	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
24		lkrlspeq.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
25	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑊 ∈ LVec)
26		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
27		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
28		eldifsni 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝑁‘{𝐻}) ∖ { 0 }) → 𝐺 ≠ 0 )
29	1, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
30	29	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐺 ≠ 0 )
31	27, 30	eqnetrrd 3023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 )
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
33	19, 23, 3, 12, 32, 6	ldual0 40085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	34	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
36		orc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 ))
37	35, 36	biimtrrdi 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
38		lkrlspeq.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
39	3, 4	lduallvec 40092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LVec)
40	39	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐷 ∈ LVec)
41	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
42	26, 41	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
43	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
44	9, 14, 12, 13, 32, 38, 40, 42, 43	lvecvs0or 21325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = 0 )))
45	37, 44	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = 0 ))
46	45	necon3d 2976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ≠ 0 → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
47	31, 46	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑘 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
49	26, 47, 48	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝑘 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
50	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → 𝐻 ∈ 𝐹)
51	19, 20, 23, 8, 24, 3, 14, 25, 49, 50, 27	lkreqN 40108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))
52	51	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝐺 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻)))
53	22, 52	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = (𝐿‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  Scalarcsca 17370   ·_𝑠 cvsca 17371  0_gc0g 17549  LModclmod 21074  LSpanclspn 21185  LVecclvec 21316  LFnlclfn 39995  LKerclk 40023  LDualcld 40061

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-subg 19272  df-cntz 19470  df-lsm 19789  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-nzr 20702  df-rlreg 20885  df-domn 20886  df-drng 20921  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-lvec 21317  df-lshyp 39915  df-lfl 39996  df-lkr 40024  df-ldual 40062

This theorem is used by:  lcdlkreqN  42560