Theorem legeq 28732

Description: Deduce equality from "less than" null segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legeq.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
legeq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem legeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		legid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		legid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		legtrd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
9		legeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))
10	1, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 5, 6	leg0 28731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10	legtri3 28729	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐶))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	axtgcgrid 28602	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  distcds 17271  TarskiGcstrkg 28566  Itvcitv 28572  ≤Gcleg 28721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-er 8666  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-concat 14574  df-s1 14600  df-s2 14851  df-s3 14852  df-trkgc 28587  df-trkgb 28588  df-trkgcb 28589  df-trkg 28592  df-cgrg 28650  df-leg 28722

This theorem is referenced by:  krippenlem  28829