Theorem legeq 28686

Description: Deduce equality from "less than" null segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legeq.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
legeq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem legeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		legid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		legid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		legtrd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
9		legeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))
10	1, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 5, 6	leg0 28685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10	legtri3 28683	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐶))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	axtgcgrid 28556	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  distcds 17227  TarskiGcstrkg 28520  Itvcitv 28526  ≤Gcleg 28675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-trkgc 28541  df-trkgb 28542  df-trkgcb 28543  df-trkg 28546  df-cgrg 28604  df-leg 28676

This theorem is referenced by:  krippenlem  28783