Theorem legeq 25844

Description: Deduce equality from "less than" null segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legeq.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
legeq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem legeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		legid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		legid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		legtrd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
9		legeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))
10	1, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 5, 6	leg0 25843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10	legtri3 25841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐶))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	axtgcgrid 25714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  distcds 16276  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  ≤Gcleg 25833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-cgrg 25762  df-leg 25834

This theorem is referenced by:  krippenlem  25941