Theorem legeq 29062

Description: Deduce equality from "less than" null segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legeq.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
legeq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem legeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		legid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		legid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		legtrd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
9		legeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))
10	1, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 5, 6	leg0 29061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10	legtri3 29059	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐶))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	axtgcgrid 28931	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  ≤Gcleg 29051

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921  df-cgrg 28980  df-leg 29052

This theorem is used by:  krippenlem  29168