Theorem legeq 28661

Description: Deduce equality from "less than" null segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legeq.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
legeq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem legeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		legid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		legid.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		legtrd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
9		legeq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐶))
10	1, 2, 3, 8, 4, 7, 5, 5, 6	leg0 28660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
11	1, 2, 3, 8, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10	legtri3 28658	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐶))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	axtgcgrid 28531	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  ≤Gcleg 28650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkg 28521  df-cgrg 28579  df-leg 28651

This theorem is referenced by:  krippenlem  28758