Theorem leg0 28590

Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
leg0	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem leg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	tgbtwntriv1 28489	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
8		legid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 8, 1	tgcgrtriv 28482	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))
10		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
11		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐶))
12	11	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶)))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))))
14	13	rspcev 3573	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
15	1, 7, 9, 14	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
16		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17	2, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6	legov 28583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥))))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  distcds 17177  TarskiGcstrkg 28425  Itvcitv 28431  ≤Gcleg 28580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-s1 14511  df-s2 14762  df-s3 14763  df-trkgc 28446  df-trkgb 28447  df-trkgcb 28448  df-trkg 28451  df-cgrg 28509  df-leg 28581

This theorem is referenced by:  legeq  28591