Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leg0 26485
 Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
leg0 (𝜑 → (𝐴 𝐴) (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem leg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legtrd.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
2 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
72, 3, 4, 5, 1, 6tgbtwntriv1 26384 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
8 legid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
92, 3, 4, 5, 8, 1tgcgrtriv 26377 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝐶))
10 eleq1 2839 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
11 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐶))
1211eqeq2d 2769 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 𝐴) = (𝐶 𝑥) ↔ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝐶)))
1310, 12anbi12d 633 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝐶))))
1413rspcev 3541 . . 3 ((𝐶𝑃 ∧ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝐶))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝑥)))
151, 7, 9, 14syl12anc 835 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝑥)))
16 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
172, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6legov 26478 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐴) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐴) = (𝐶 𝑥))))
1815, 17mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐴 𝐴) (𝐶 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  distcds 16632  TarskiGcstrkg 26323  Itvcitv 26329  ≤Gcleg 26475 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-s3 14258  df-trkgc 26341  df-trkgb 26342  df-trkgcb 26343  df-trkg 26346  df-cgrg 26404  df-leg 26476 This theorem is referenced by:  legeq  26486
 Copyright terms: Public domain W3C validator