Theorem leg0 26064

Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
leg0	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem leg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	tgbtwntriv1 25963	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
8		legid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 8, 1	tgcgrtriv 25956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))
10		eleq1 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
11		oveq2 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐶))
12	11	eqeq2d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶)))
13	10, 12	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))))
14	13	rspcev 3561	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
15	1, 7, 9, 14	syl12anc 833	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
16		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17	2, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6	legov 26057	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥))))
18	15, 17	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃wrex 3108   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  distcds 16407  TarskiGcstrkg 25902  Itvcitv 25908  ≤Gcleg 26054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-s1 13798  df-s2 14050  df-s3 14051  df-trkgc 25920  df-trkgb 25921  df-trkgcb 25922  df-trkg 25925  df-cgrg 25983  df-leg 26055

This theorem is referenced by:  legeq  26065