Theorem leg0 28409

Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
leg0	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem leg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	tgbtwntriv1 28308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
8		legid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 8, 1	tgcgrtriv 28301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))
10		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
11		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐶))
12	11	eqeq2d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶)))
13	10, 12	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))))
14	13	rspcev 3609	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
15	1, 7, 9, 14	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
16		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17	2, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6	legov 28402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥))))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  Itvcitv 28250  ≤Gcleg 28399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-leg 28400

This theorem is referenced by:  legeq  28410