Theorem leg0 28571

Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
leg0	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem leg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legtrd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
2		legval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
7	2, 3, 4, 5, 1, 6	tgbtwntriv1 28470	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
8		legid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 8, 1	tgcgrtriv 28463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))
10		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
11		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐶))
12	11	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥) ↔ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶)))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))))
14	13	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ (𝐶 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
15	1, 7, 9, 14	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥)))
16		legval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17	2, 3, 4, 16, 5, 8, 8, 1, 6	legov 28564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐴) = (𝐶 − 𝑥))))
18	15, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  ≤Gcleg 28561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-cgrg 28490  df-leg 28562

This theorem is referenced by:  legeq  28572