Theorem acycgrislfgr 34143

Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
acycgrislfgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
acycgrislfgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgrislfgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem acycgrislfgr

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 34136	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2	1	biimpac 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
3		loop1cycl 34128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		3simpa 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
5	4	2eximi 1839	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
6	3, 5	syl6bir 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
7	6	exlimdv 1937	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
8		vex 3479	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
9		hash1n0 14381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ (♯‘𝑓) = 1) → 𝑓 ≠ ∅)
10	8, 9	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑓) = 1 → 𝑓 ≠ ∅)
11	10	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
12	11	2eximi 1839	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
13	7, 12	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	2, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
17		acycgrislfgr.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18		acycgrislfgr.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	17, 18	lfuhgr3 34110	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	16, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  0cc0 11110  1c1 11111   ≤ cle 11249  2c2 12267  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  UHGraphcuhgr 28316  Cyclesccycls 29042  AcyclicGraphcacycgr 34133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-pthson 28975  df-cycls 29044  df-acycgr 34134

This theorem is referenced by:  upgracycumgr  34144