Theorem acycgrislfgr 35543

Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
acycgrislfgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
acycgrislfgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgrislfgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem acycgrislfgr

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 35536	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2	1	biimpac 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
3		loop1cycl 35528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		3simpa 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
5	4	2eximi 1863	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
6	3, 5	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
7	6	exlimdv 1960	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
8		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
9		hash1n0 14458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ (♯‘𝑓) = 1) → 𝑓 ≠ ∅)
10	8, 9	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑓) = 1 → 𝑓 ≠ ∅)
11	10	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
12	11	2eximi 1863	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
13	7, 12	syl6 36	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	con3d 153	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	2, 15	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
17		acycgrislfgr.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18		acycgrislfgr.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	17, 18	lfuhgr3 35511	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	16, 20	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423  Vcvv 3463  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  0cc0 11100  1c1 11101   ≤ cle 11244  2c2 12295  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  Edgcedg 29338  UHGraphcuhgr 29347  Cyclesccycls 30075  AcyclicGraphcacycgr 35533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-wlks 29890  df-wlkson 29891  df-trls 29981  df-trlson 29982  df-pths 30004  df-pthson 30006  df-cycls 30077  df-acycgr 35534

This theorem is referenced by:  upgracycumgr  35544