Theorem acycgrislfgr 33114

Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
acycgrislfgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
acycgrislfgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgrislfgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem acycgrislfgr

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 33107	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2	1	biimpac 479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
3		loop1cycl 33099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		3simpa 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
5	4	2eximi 1838	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
6	3, 5	syl6bir 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
7	6	exlimdv 1936	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
8		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
9		hash1n0 14136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ (♯‘𝑓) = 1) → 𝑓 ≠ ∅)
10	8, 9	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑓) = 1 → 𝑓 ≠ ∅)
11	10	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
12	11	2eximi 1838	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
13	7, 12	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	2, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
17		acycgrislfgr.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18		acycgrislfgr.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	17, 18	lfuhgr3 33081	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	16, 20	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  UHGraphcuhgr 27426  Cyclesccycls 28153  AcyclicGraphcacycgr 33104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-wlks 27966  df-wlkson 27967  df-trls 28060  df-trlson 28061  df-pths 28084  df-pthson 28086  df-cycls 28155  df-acycgr 33105

This theorem is referenced by:  upgracycumgr  33115