Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acycgrislfgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acycgrislfgr 32643
 Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
acycgrislfgr.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
acycgrislfgr.2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
acycgrislfgr ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem acycgrislfgr
Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 32636 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
21biimpac 482 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
3 loop1cycl 32628 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 3simpa 1145 . . . . . . . . 9 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
542eximi 1837 . . . . . . . 8 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
63, 5syl6bir 257 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
76exlimdv 1934 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
8 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
9 hash1n0 13845 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ V ∧ (♯‘𝑓) = 1) → 𝑓 ≠ ∅)
108, 9mpan 689 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑓) = 1 → 𝑓 ≠ ∅)
1110anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
12112eximi 1837 . . . . . 6 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
137, 12syl6 35 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
1413con3d 155 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
1514adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
162, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
17 acycgrislfgr.1 . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18 acycgrislfgr.2 . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1917, 18lfuhgr3 32610 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
2019adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
2116, 20mpbird 260 1 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074  Vcvv 3409  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   class class class wbr 5036  dom cdm 5528  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  0cc0 10588  1c1 10589   ≤ cle 10727  2c2 11742  ♯chash 13753  Vtxcvtx 26902  iEdgciedg 26903  Edgcedg 26953  UHGraphcuhgr 26962  Cyclesccycls 27687  AcyclicGraphcacycgr 32633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-concat 13983  df-s1 14010  df-s2 14270  df-edg 26954  df-uhgr 26964  df-wlks 27502  df-wlkson 27503  df-trls 27595  df-trlson 27596  df-pths 27618  df-pthson 27620  df-cycls 27689  df-acycgr 32634 This theorem is referenced by:  upgracycumgr  32644
 Copyright terms: Public domain W3C validator