Theorem acycgrislfgr 35196

Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
acycgrislfgr.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
acycgrislfgr.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgrislfgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem acycgrislfgr

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 35189	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2	1	biimpac 478	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
3		loop1cycl 35181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) ↔ {𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		3simpa 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
5	4	2eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1))
6	3, 5	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
7	6	exlimdv 1934	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1)))
8		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
9		hash1n0 14328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ (♯‘𝑓) = 1) → 𝑓 ≠ ∅)
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑓) = 1 → 𝑓 ≠ ∅)
11	10	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
12	11	2eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 1) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
13	7, 12	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	2, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
17		acycgrislfgr.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
18		acycgrislfgr.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
19	17, 18	lfuhgr3 35164	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ ¬ ∃𝑎{𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	16, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  0cc0 11006  1c1 11007   ≤ cle 11147  2c2 12180  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  Edgcedg 29025  UHGraphcuhgr 29034  Cyclesccycls 29763  AcyclicGraphcacycgr 35186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-wlks 29578  df-wlkson 29579  df-trls 29669  df-trlson 29670  df-pths 29692  df-pthson 29694  df-cycls 29765  df-acycgr 35187

This theorem is referenced by:  upgracycumgr  35197