Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acycgrislfgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acycgrislfgr 34212
Description: An acyclic hypergraph is a loop-free hypergraph. (Contributed by BTernaryTau, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
acycgrislfgr.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
acycgrislfgr.2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
acycgrislfgr ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem acycgrislfgr
Dummy variables π‘Ž 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 34205 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
21biimpac 479 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
3 loop1cycl 34197 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) ↔ {π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4 3simpa 1148 . . . . . . . . 9 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1))
542eximi 1838 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1))
63, 5syl6bir 253 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1)))
76exlimdv 1936 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1)))
8 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
9 hash1n0 14383 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1) β†’ 𝑓 β‰  βˆ…)
108, 9mpan 688 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘“) = 1 β†’ 𝑓 β‰  βˆ…)
1110anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
12112eximi 1838 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 1) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
137, 12syl6 35 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1413con3d 152 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1514adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
162, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
17 acycgrislfgr.1 . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
18 acycgrislfgr.2 . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
1917, 18lfuhgr3 34179 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2019adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ Β¬ βˆƒπ‘Ž{π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2116, 20mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) β†’ 𝐼:dom 𝐼⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  0cc0 11112  1c1 11113   ≀ cle 11251  2c2 12269  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  Edgcedg 28345  UHGraphcuhgr 28354  Cyclesccycls 29080  AcyclicGraphcacycgr 34202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-edg 28346  df-uhgr 28356  df-wlks 28894  df-wlkson 28895  df-trls 28987  df-trlson 28988  df-pths 29011  df-pthson 29013  df-cycls 29082  df-acycgr 34203
This theorem is referenced by:  upgracycumgr  34213
  Copyright terms: Public domain W3C validator