MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lidlsubcl 21124
Description: An ideal is closed under subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lidlsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidlsubcl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝐼)
Proof of Theorem lidlsubcl
StepHypRef Expression
1 lidlcl.u . . . . 5 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
21lidlsubg 21123 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
323adant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
4 simp3l 1198 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
5 simp3r 1199 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
6 lidlsubcl.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
76subgsubcl 19096 . . 3 ((𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝐼)
83, 4, 5, 7syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝐼)
983expa 1115 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  -gcsg 18896  SubGrpcsubg 19079  Ringcrg 20177  LIdealclidl 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108
This theorem is referenced by:  ig1peu  26127  ig1pdvds  26132  hbtlem5  42617
  Copyright terms: Public domain W3C validator