Theorem lidlmcl 20832

Description: An ideal is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		rlmvsca 20816	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
3	1, 2	eqtri 2760	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
4	3	oveqi 7418	. 2 ⊢ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌)
5		rlmlmod 20819	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
6	5	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9		lidlval 20806	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
11	7, 10	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13		lidlcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		rlmsca 20814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15	14	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
16	13, 15	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
17	16	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
18	17	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	18	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
20		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐼)
21		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
22		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
24		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
25	21, 22, 23, 24	lssvscl 20558	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
26	6, 12, 19, 20, 25	syl22anc 837	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
27	4, 26	eqeltrid 2837	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  ringLModcrglmod 20774  LIdealclidl 20775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779

This theorem is referenced by:  lidl1el  20833  dflidl2  20835  drngnidl  20846  2idlcpbl  20863  zringlpirlem3  21025  ig1peu  25680  ig1pdvds  25685  ringlsmss1  32494  ringlsmss2  32495  intlidl  32524  rhmpreimaidl  32525  lidlunitel  32529  elrspunidl  32534  idlinsubrg  32537  isprmidlc  32554  mxidlprm  32574  ssmxidllem  32577  qsdrnglem2  32598  hbtlem2  41851  hbtlem4  41853