MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmcl 19585
Description: An ideal is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlmcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlmcl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlmcl
StepHypRef Expression
1 lidlmcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2 rlmvsca 19570 . . . 4 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
31, 2eqtri 2849 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
43oveqi 6923 . 2 (𝑋 · 𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌)
5 rlmlmod 19573 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
65ad2antrr 717 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
7 simpr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼𝑈)
8 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
9 lidlval 19560 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
108, 9eqtri 2849 . . . . 5 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
117, 10syl6eleq 2916 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
1211adantr 474 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13 lidlcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
14 rlmsca 19568 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1514fveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
1613, 15syl5eq 2873 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
1716eleq2d 2892 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))))
1817biimpa 470 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
1918ad2ant2r 753 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
20 simprr 789 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → 𝑌𝐼)
21 eqid 2825 . . . 4 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
22 eqid 2825 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
23 eqid 2825 . . . 4 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
24 eqid 2825 . . . 4 (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
2521, 22, 23, 24lssvscl 19321 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) ∧ 𝑌𝐼)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
266, 12, 19, 20, 25syl22anc 872 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
274, 26syl5eqel 2910 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  Scalarcsca 16315   ·𝑠 cvsca 16316  Ringcrg 18908  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  ringLModcrglmod 19537  LIdealclidl 19538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542
This theorem is referenced by:  lidl1el  19586  drngnidl  19597  2idlcpbl  19602  zringlpirlem3  20201  ig1peu  24337  ig1pdvds  24342  hbtlem2  38532  hbtlem4  38534  lidlmmgm  42786
  Copyright terms: Public domain W3C validator