Theorem lidlmcl 21302

Description: An ideal is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem lidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20345	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ 𝑈)
4		lidlcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	4, 5	lidl0cl 21297	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
7	2, 3, 6	3jca 1142	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
8		lidlcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		lidlmcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	5, 8, 9, 4	rnglidlmcl 21293	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)
11	7, 10	sylan 589	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  ._rcmulr 17297  0_gc0g 17478  Rngcrng 20208  Ringcrg 20293  LIdealclidl 21283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-subg 19175  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-lidl 21285

This theorem is referenced by:  lidl1el  21303  drngnidl  21320  rhmpreimaidl  21354  zringlpirlem3  21523  ig1peu  26242  ig1pdvds  26247  ringlsmss1  33585  ringlsmss2  33586  lidlmcld  33608  intlidl  33609  lidlunitel  33612  elrspunidl  33617  idlinsubrg  33620  isprmidlc  33636  mxidlprm  33661  ssmxidllem  33664  qsdrnglem2  33687  hbtlem2  43706  hbtlem4  43708