Theorem lidlsubg 20253

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lidlcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 20248	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	2, 5	lidl0cl 20250	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
7	6	ne0d 4250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ≠ ∅)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	2, 8	lidlacl 20251	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
10	9	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
11	10	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
13	2, 12	lidlnegcl 20252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
14	13	3expa 1120	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
15	11, 14	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
16	15	ralrimiva 3105	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
17		ringgrp 19567	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
19	1, 8, 12	issubg2 18558	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
21	4, 7, 16, 20	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366  SubGrpcsubg 18537  Ringcrg 19562  LIdealclidl 20207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-lidl 20211

This theorem is referenced by:  lidlsubcl  20254  2idlcpbl  20272  qus1  20273  qusrhm  20275  quscrng  20278  zndvds  20514  elrspunidl  31320  lidlnsg  31335  qsidomlem1  31342  qsidomlem2  31343  idlsrg0g  31365  idlsrgmnd  31373  idlsrgcmnd  31374  lidlabl  45155