MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlsubg 19575
Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlsubg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lidlcl.u . . . 4 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
31, 2lidlss 19570 . . 3 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
43adantl 475 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
5 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
62, 5lidl0cl 19572 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (0g𝑅) ∈ 𝐼)
76ne0d 4150 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ≠ ∅)
8 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
92, 8lidlacl 19573 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
109anassrs 461 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
1110ralrimiva 3174 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → ∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
132, 12lidlnegcl 19574 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
14133expa 1153 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
1511, 14jca 509 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥𝐼) → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
1615ralrimiva 3174 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
17 ringgrp 18905 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1817adantr 474 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝑅 ∈ Grp)
191, 8, 12issubg2 17959 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
214, 7, 16, 20mpbir3and 1448 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wral 3116  wss 3797  c0 4143  cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  0gc0g 16452  Grpcgrp 17775  invgcminusg 17776  SubGrpcsubg 17938  Ringcrg 18900  LIdealclidl 19530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-subg 17941  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-lidl 19534
This theorem is referenced by:  lidlsubcl  19576  2idlcpbl  19594  qus1  19595  qusrhm  19597  quscrng  19600  zndvds  20256  lidlabl  42770
  Copyright terms: Public domain W3C validator