Theorem lidlunin0 21545

Description: The union of a nonempty subset of ideals in a ring is nonempty. (Contributed by AV, 28-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lidlunin0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∪ 𝐶 ≠ ∅)

Proof of Theorem lidlunin0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐶)
2		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		ssel 3907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidl0cl 21529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑦)
9	2, 5, 8	syl2an2r 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑦)
10		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
12	11	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13	12	eximdv 1952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐶 → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
14	1, 13	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐶 ≠ ∅ → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
15	14	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))))
16	15	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))))
17	16	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
18		eluni 4873	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∪ 𝐶 ↔ ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	17, 18	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∪ 𝐶)
20	19	ne0d 4291	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∪ 𝐶 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6558  0_gc0g 17639  Ringcrg 20489  LIdealclidl 21514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516

This theorem is used by:  unichnlidl  21546