Theorem lidlunin0 21344

Description: The union of a nonempty subset of ideals in a ring is nonempty. (Contributed by AV, 28-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lidlunin0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∪ 𝐶 ≠ ∅)

Proof of Theorem lidlunin0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4315	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐶)
2		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		ssel 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
4	3	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)))
5	4	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
7		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	6, 7	lidl0cl 21328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑦)
9	2, 5, 8	syl2an2r 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑦)
10		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
11	9, 10	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
12	11	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → ((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
13	12	eximdv 1945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐶 → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
14	1, 13	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (𝐶 ≠ ∅ → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)))
15	14	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))))
16	15	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅) → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))))
17	16	3imp 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
18		eluni 4880	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∪ 𝐶 ↔ ∃𝑦((0g‘𝑅) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	17, 18	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∪ 𝐶)
20	19	ne0d 4303	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∪ 𝐶 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∃wex 1807   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6540  0_gc0g 17495  Ringcrg 20318  LIdealclidl 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-mgp 20220  df-ur 20267  df-ring 20320  df-subrg 20658  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-sra 21277  df-rgmod 21278  df-lidl 21315

This theorem is referenced by:  unichnlidl  21345