Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflt 43978
Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflt.k 𝑘𝐹
liminflt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminflt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminflt.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflt.r (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflt.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
liminflt (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem liminflt
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminflt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 liminflt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 liminflt.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
4 liminflt.r . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
5 liminflt.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
61, 2, 3, 4, 5liminfltlem 43977 . 2 (𝜑 → ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋))
7 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3311 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋)))
9 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘lim inf
10 liminflt.k . . . . . . . 8 𝑘𝐹
119, 10nffv 6849 . . . . . . 7 𝑘(lim inf‘𝐹)
12 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘 <
13 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝑙
1410, 13nffv 6849 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑙)
15 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘 +
16 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑘𝑋
1714, 15, 16nfov 7383 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑙) + 𝑋)
1811, 12, 17nfbr 5150 . . . . . 6 𝑘(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋)
19 nfv 1917 . . . . . 6 𝑙(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)
20 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
2120oveq1d 7368 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) + 𝑋) = ((𝐹𝑘) + 𝑋))
2221breq2d 5115 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
2318, 19, 22cbvralw 3287 . . . . 5 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
2423a1i 11 . . . 4 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
258, 24bitrd 278 . . 3 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋)))
2625cbvrexvw 3224 . 2 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑙) + 𝑋) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
276, 26sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹𝑘) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2885  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046   + caddc 11050   < clt 11185  cz 12495  cuz 12759  +crp 12907  lim infclsi 43924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-ico 13262  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-ceil 13690  df-limsup 15345  df-liminf 43925
This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  43980
  Copyright terms: Public domain W3C validator