Theorem liminflt 45760

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminflt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflt.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminflt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem liminflt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		liminflt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		liminflt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
5		liminflt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfltlem 45759	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋))
7		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)))
9		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim inf
10		liminflt.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	9, 10	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹)
12		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
13		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
14	10, 13	nffv 6916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
15		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 +
16		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
17	14, 15, 16	nfov 7460	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
18	11, 12, 17	nfbr 5194	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
19		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)
20		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
21	20	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
22	21	breq2d 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
23	18, 19, 22	cbvralw 3303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
25	8, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
26	25	cbvrexvw 3235	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
27	6, 26	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   + caddc 11155   < clt 11292  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℝ⁺crp 13031  lim infclsi 45706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-limsup 15503  df-liminf 45707

This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  45762