Theorem liminflt 45786

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminflt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflt.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminflt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem liminflt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		liminflt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		liminflt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
5		liminflt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfltlem 45785	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋))
7		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3289	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)))
9		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim inf
10		liminflt.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	9, 10	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹)
12		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
13		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
14	10, 13	nffv 6832	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
15		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 +
16		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
17	14, 15, 16	nfov 7379	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
18	11, 12, 17	nfbr 5139	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
19		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)
20		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
21	20	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
22	21	breq2d 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
23	18, 19, 22	cbvralw 3271	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
25	8, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
26	25	cbvrexvw 3208	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
27	6, 26	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   + caddc 11012   < clt 11149  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  lim infclsi 45732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-ceil 13697  df-limsup 15378  df-liminf 45733

This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  45788