Theorem liminflt 45726

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminflt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflt.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminflt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem liminflt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		liminflt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		liminflt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
5		liminflt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfltlem 45725	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋))
7		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3334	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)))
9		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim inf
10		liminflt.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	9, 10	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹)
12		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
13		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
14	10, 13	nffv 6930	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
15		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 +
16		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
17	14, 15, 16	nfov 7478	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
18	11, 12, 17	nfbr 5213	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
19		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)
20		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
21	20	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
22	21	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
23	18, 19, 22	cbvralw 3312	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
25	8, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
26	25	cbvrexvw 3244	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
27	6, 26	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  lim infclsi 45672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-limsup 15517  df-liminf 45673

This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  45728