Theorem liminflt 46410

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's approximated from above by the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminflt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminflt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminflt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
liminflt.r	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
liminflt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
liminflt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem liminflt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminflt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		liminflt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		liminflt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		liminflt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ∈ ℝ)
5		liminflt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfltlem 46409	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋))
7		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
8	7	raleqdv 3329	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)))
9		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim inf
10		liminflt.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11	9, 10	nffv 6892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹)
12		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
13		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
14	10, 13	nffv 6892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
15		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 +
16		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
17	14, 15, 16	nfov 7441	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
18	11, 12, 17	nfbr 5162	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋)
19		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)
20		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
21	20	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
22	21	breq2d 5125	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ (lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
23	18, 19, 22	cbvralw 3313	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
25	8, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋)))
26	25	cbvrexvw 3250	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑙) + 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))
27	6, 26	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(lim inf‘𝐹) < ((𝐹‘𝑘) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098   + caddc 11102   < clt 11242  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  lim infclsi 46356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-limsup 15521  df-liminf 46357

This theorem is referenced by:  liminflimsupclim  46412