Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminf 43739
Description: A sequence of real numbers converges if and only if it converges to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminf.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminf.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminf.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climliminf (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))

Proof of Theorem climliminf
StepHypRef Expression
1 climliminf.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climliminf.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climliminf.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
41, 2, 3climlimsup 43693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
54biimpd 228 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
65imp 408 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
71adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
83adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
9 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
107, 2, 8, 9climliminflimsupd 43734 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
116, 10breqtrrd 5131 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
12 climrel 15308 . . . 4 Rel ⇝
1312releldmi 5899 . . 3 (𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1413adantl 483 . 2 ((𝜑𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1511, 14impbida 799 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  dom cdm 5630  wf 6487  cfv 6491  cr 10983  cz 12432  cuz 12695  lim supclsp 15286  cli 15300  lim infclsi 43684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-ico 13198  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-limsup 15287  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-liminf 43685
This theorem is referenced by:  climliminflimsup  43741  dmclimxlim  43784
  Copyright terms: Public domain W3C validator