Theorem climliminf 46255

Description: A sequence of real numbers converges if and only if it converges to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climliminf.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climliminf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climliminf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climliminf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))

Proof of Theorem climliminf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climliminf.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climliminf.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climliminf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4	1, 2, 3	climlimsup 46209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
5	4	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
7	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	7, 2, 8, 9	climliminflimsupd 46250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
11	6, 10	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
12		climrel 15448	. . . 4 ⊢ Rel ⇝
13	12	releldmi 5898	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
15	11, 14	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℝcr 11031  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  lim supclsp 15426   ⇝ cli 15440  lim infclsi 46200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-ico 13298  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-liminf 46201

This theorem is referenced by:  climliminflimsup  46257  dmclimxlim  46300