Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminf 42374
 Description: A sequence of real numbers converges if and only if it converges to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminf.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climliminf.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climliminf.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climliminf (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))

Proof of Theorem climliminf
StepHypRef Expression
1 climliminf.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climliminf.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climliminf.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
41, 2, 3climlimsup 42328 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
54biimpd 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹)))
65imp 410 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim sup‘𝐹))
71adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
83adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
9 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
107, 2, 8, 9climliminflimsupd 42369 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (lim inf‘𝐹) = (lim sup‘𝐹))
116, 10breqtrrd 5080 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
12 climrel 14849 . . . 4 Rel ⇝
1312releldmi 5805 . . 3 (𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1413adantl 485 . 2 ((𝜑𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1511, 14impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  ℝcr 10534  ℤcz 11978  ℤ≥cuz 12240  lim supclsp 14827   ⇝ cli 14841  lim infclsi 42319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-ico 12741  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-liminf 42320 This theorem is referenced by:  climliminflimsup  42376  dmclimxlim  42419
 Copyright terms: Public domain W3C validator