Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climliminf 44601
Description: A sequence of real numbers converges if and only if it converges to its inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climliminf.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climliminf.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climliminf.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climliminf (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))

Proof of Theorem climliminf
StepHypRef Expression
1 climliminf.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 climliminf.2 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 climliminf.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
41, 2, 3climlimsup 44555 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
54biimpd 228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ)))
65imp 407 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ⇝ (lim supβ€˜πΉ))
71adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
83adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
9 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
107, 2, 8, 9climliminflimsupd 44596 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim supβ€˜πΉ))
116, 10breqtrrd 5176 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ))
12 climrel 15438 . . . 4 Rel ⇝
1312releldmi 5947 . . 3 (𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1413adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)) β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
1511, 14impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11111  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  lim supclsp 15416   ⇝ cli 15430  lim infclsi 44546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-ico 13332  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-liminf 44547
This theorem is referenced by:  climliminflimsup  44603  dmclimxlim  44646
  Copyright terms: Public domain W3C validator