Theorem lcfrlem42 41567

Description: Lemma for lcfr 41568. Eliminate nonzero condition. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem38.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem42	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem38.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfrlem38.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfrlem38.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lcfrlem38.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7		lcfrlem38.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lcfrlem38.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcfrlem38.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
10		lcfrlem38.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
11		lcfrlem38.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
12		lcfrlem38.xe	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
13	1, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 12	lcfrlem4 41528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
14		lcfrlem38.ye	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
15	1, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 14	lcfrlem4 41528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
16		lcfrlem38.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17	6, 16	lmodcom 20923	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
18	4, 13, 15, 17	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
20	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝑄)
22	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
23		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
24		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
25	1, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 20, 21, 10, 22, 23, 24	lcfrlem7 41531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐸)
26	19, 25	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
27	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝑄)
29	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
30		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝑌 = (0g‘𝑈))
31	1, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 27, 28, 10, 29, 23, 30	lcfrlem7 41531	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
32		lcfrlem38.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
33		lcfrlem38.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
34	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝐺 ∈ 𝑄)
36		lcfrlem38.gs	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝐺 ⊆ 𝐶)
38	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐸)
39	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
40		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
41		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
42	1, 5, 2, 16, 32, 7, 8, 9, 33, 10, 34, 35, 37, 38, 39, 23, 40, 41	lcfrlem41 41566	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
43	26, 31, 42	pm2.61da2ne 3028	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∪ ciun 4996  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  LDualcld 39105  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378

This theorem is referenced by:  lcfr  41568