Theorem lcfrlem42 42336

Description: Lemma for lcfr 42337. Eliminate nonzero condition. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem38.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem38.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lcfrlem38.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem38.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem38.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem38.gs	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
lcfrlem38.xe	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem38.ye	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem42	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ⊥ ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem38.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfrlem38.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfrlem38.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		lcfrlem38.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7		lcfrlem38.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		lcfrlem38.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcfrlem38.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
10		lcfrlem38.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
11		lcfrlem38.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
12		lcfrlem38.xe	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
13	1, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 12	lcfrlem4 42297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
14		lcfrlem38.ye	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
15	1, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 14	lcfrlem4 42297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
16		lcfrlem38.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17	6, 16	lmodcom 21010	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
18	4, 13, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
20	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝑄)
22	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐸)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
24		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
25	1, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 20, 21, 10, 22, 23, 24	lcfrlem7 42300	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐸)
26	19, 25	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
27	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝐺 ∈ 𝑄)
29	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐸)
30		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → 𝑌 = (0g‘𝑈))
31	1, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 27, 28, 10, 29, 23, 30	lcfrlem7 42300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
32		lcfrlem38.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
33		lcfrlem38.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
34	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
35	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝐺 ∈ 𝑄)
36		lcfrlem38.gs	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐶)
37	36	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝐺 ⊆ 𝐶)
38	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐸)
39	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
40		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
41		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
42	1, 5, 2, 16, 32, 7, 8, 9, 33, 10, 34, 35, 37, 38, 39, 23, 40, 41	lcfrlem41 42335	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
43	26, 31, 42	pm2.61da2ne 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∪ ciun 4957  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LFnlclfn 39809  LKerclk 39837  LDualcld 39875  HLchlt 40102  LHypclh 40736  DVecHcdvh 41830  ocHcoch 42099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39728  df-lshyp 39729  df-lcv 39771  df-lfl 39810  df-lkr 39838  df-ldual 39876  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911  df-tgrp 41495  df-tendo 41507  df-edring 41509  df-dveca 41755  df-disoa 41781  df-dvech 41831  df-dib 41891  df-dic 41925  df-dih 41981  df-doch 42100  df-djh 42147

This theorem is referenced by:  lcfr  42337