Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem42 40260
Description: Lemma for lcfr 40261. Eliminate nonzero condition. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem42 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑔   𝑔,𝐺   𝑓,𝑔,𝐿   ,𝑓,𝑔   + ,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔   𝑓,𝑋,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem42
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 39786 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lcfrlem38.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
10 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
11 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
12 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
131, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 12lcfrlem4 40221 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
14 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
151, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 11, 14lcfrlem4 40221 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
16 lcfrlem38.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
176, 16lmodcom 20467 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
184, 13, 15, 17syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
203adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2111adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → 𝐺𝑄)
2214adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → 𝑌𝐸)
23 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
24 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → 𝑋 = (0g𝑈))
251, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 20, 21, 10, 22, 23, 24lcfrlem7 40224 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐸)
2619, 25eqeltrd 2832 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
273adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2811adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → 𝐺𝑄)
2912adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → 𝑋𝐸)
30 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → 𝑌 = (0g𝑈))
311, 5, 2, 16, 7, 8, 9, 27, 28, 10, 29, 23, 30lcfrlem7 40224 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
32 lcfrlem38.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
33 lcfrlem38.c . . 3 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
343adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3511adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝐺𝑄)
36 lcfrlem38.gs . . . 4 (𝜑𝐺𝐶)
3736adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝐺𝐶)
3812adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝐸)
3914adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝐸)
40 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
41 simprr 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
421, 5, 2, 16, 32, 7, 8, 9, 33, 10, 34, 35, 37, 38, 39, 23, 40, 41lcfrlem41 40259 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
4326, 31, 42pm2.61da2ne 3029 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  {crab 3431  wss 3944   ciun 4990  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  0gc0g 17367  LModclmod 20420  LSubSpclss 20491  LFnlclfn 37732  LKerclk 37760  LDualcld 37798  HLchlt 38025  LHypclh 38660  DVecHcdvh 39754  ocHcoch 40023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37628
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17369  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-oppg 19174  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663  df-lsatoms 37651  df-lshyp 37652  df-lcv 37694  df-lfl 37733  df-lkr 37761  df-ldual 37799  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-tgrp 39419  df-tendo 39431  df-edring 39433  df-dveca 39679  df-disoa 39705  df-dvech 39755  df-dib 39815  df-dic 39849  df-dih 39905  df-doch 40024  df-djh 40071
This theorem is referenced by:  lcfr  40261
  Copyright terms: Public domain W3C validator