Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem21 37638
Description: Lemma for lcfr 37660. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
109adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1615adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 37637 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
191, 3, 9dvhlmod 37185 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2011eldifad 3810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2113eldifad 3810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
224, 5lmodcom 19265 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2423sneqd 4409 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑋)})
2524fveq2d 6437 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
2625eleq2d 2892 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ↔ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
2726biimprd 240 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}) → 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
2827con3dimp 399 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
29 prcom 4485 . . . . . . . 8 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3029fveq2i 6436 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
3231, 25ineq12d 4042 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
3332adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
349adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3513adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3611adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3715necomd 3054 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
3837adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
39 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 37637 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) ∈ 𝐴)
4133, 40eqeltrd 2906 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
4228, 41syldan 587 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 37636 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
4418, 42, 43mpjaodan 988 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  cdif 3795  cin 3797  {csn 4397  {cpr 4399  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453  LModclmod 19219  LSpanclspn 19330  LSAtomsclsa 35049  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DVecHcdvh 37153  ocHcoch 37422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35051  df-lshyp 35052  df-lcv 35094  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tgrp 36818  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dveca 37078  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423  df-djh 37470
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  37639  lcfrlem40  37657
  Copyright terms: Public domain W3C validator