Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem21 39912
Description: Lemma for lcfr 39934. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem17.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem17.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
109adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
1615adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 39911 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
191, 3, 9dvhlmod 39459 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2011eldifad 3921 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2113eldifad 3921 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
224, 5lmodcom 20291 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
2423sneqd 4597 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {(𝑋 + π‘Œ)} = {(π‘Œ + 𝑋)})
2524fveq2d 6842 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
2625eleq2d 2824 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ↔ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
2726biimprd 248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}) β†’ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
2827con3dimp 410 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
29 prcom 4692 . . . . . . . 8 {𝑋, π‘Œ} = {π‘Œ, 𝑋}
3029fveq2i 6841 . . . . . . 7 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
3231, 25ineq12d 4172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
3332adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
349adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3513adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3611adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3715necomd 2998 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
3837adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
39 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 39911 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) ∈ 𝐴)
4133, 40eqeltrd 2839 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
4228, 41syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 39910 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ∨ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
4418, 42, 43mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   βˆ– cdif 3906   ∩ cin 3908  {csn 4585  {cpr 4587  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17018  +gcplusg 17068  0gc0g 17256  LModclmod 20245  LSpanclspn 20355  LSAtomsclsa 37322  HLchlt 37698  LHypclh 38333  DVecHcdvh 39427  ocHcoch 39696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-riotaBAD 37301
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-undef 8172  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-0g 17258  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-proset 18119  df-poset 18137  df-plt 18154  df-lub 18170  df-glb 18171  df-join 18172  df-meet 18173  df-p0 18249  df-p1 18250  df-lat 18256  df-clat 18323  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-sbg 18688  df-subg 18858  df-cntz 19029  df-oppg 19056  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-lsatoms 37324  df-lshyp 37325  df-lcv 37367  df-oposet 37524  df-ol 37526  df-oml 37527  df-covers 37614  df-ats 37615  df-atl 37646  df-cvlat 37670  df-hlat 37699  df-llines 37847  df-lplanes 37848  df-lvols 37849  df-lines 37850  df-psubsp 37852  df-pmap 37853  df-padd 38145  df-lhyp 38337  df-laut 38338  df-ldil 38453  df-ltrn 38454  df-trl 38508  df-tgrp 39092  df-tendo 39104  df-edring 39106  df-dveca 39352  df-disoa 39378  df-dvech 39428  df-dib 39488  df-dic 39522  df-dih 39578  df-doch 39697  df-djh 39744
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  39913  lcfrlem40  39931
  Copyright terms: Public domain W3C validator