Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem21 39921
Description: Lemma for lcfr 39943. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem17.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem17.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
109adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
1615adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
17 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 39920 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
191, 3, 9dvhlmod 39468 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2011eldifad 3920 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2113eldifad 3920 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
224, 5lmodcom 20291 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
2423sneqd 4596 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {(𝑋 + π‘Œ)} = {(π‘Œ + 𝑋)})
2524fveq2d 6841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
2625eleq2d 2823 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ↔ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
2726biimprd 247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}) β†’ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
2827con3dimp 409 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
29 prcom 4691 . . . . . . . 8 {𝑋, π‘Œ} = {π‘Œ, 𝑋}
3029fveq2i 6840 . . . . . . 7 (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋})
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}))
3231, 25ineq12d 4171 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
3332adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})))
349adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3513adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3611adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3715necomd 2997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
3837adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
39 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 39920 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ, 𝑋}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) ∈ 𝐴)
4133, 40eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(π‘Œ + 𝑋)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
4228, 41syldan 591 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 39919 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ∨ Β¬ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
4418, 42, 43mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3905   ∩ cin 3907  {csn 4584  {cpr 4586  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  +gcplusg 17067  0gc0g 17255  LModclmod 20245  LSpanclspn 20355  LSAtomsclsa 37331  HLchlt 37707  LHypclh 38342  DVecHcdvh 39436  ocHcoch 39705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-riotaBAD 37310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-tpos 8124  df-undef 8171  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-0g 17257  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-oppg 19056  df-lsm 19347  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-lsatoms 37333  df-lshyp 37334  df-lcv 37376  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-llines 37856  df-lplanes 37857  df-lvols 37858  df-lines 37859  df-psubsp 37861  df-pmap 37862  df-padd 38154  df-lhyp 38346  df-laut 38347  df-ldil 38462  df-ltrn 38463  df-trl 38517  df-tgrp 39101  df-tendo 39113  df-edring 39115  df-dveca 39361  df-disoa 39387  df-dvech 39437  df-dib 39497  df-dic 39531  df-dih 39587  df-doch 39706  df-djh 39753
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  39922  lcfrlem40  39940
  Copyright terms: Public domain W3C validator