Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem21 41545
Description: Lemma for lcfr 41567. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
109adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 41544 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
191, 3, 9dvhlmod 41092 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2011eldifad 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2113eldifad 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
224, 5lmodcom 20922 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2423sneqd 4642 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑋)})
2524fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
2625eleq2d 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ↔ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
2726biimprd 248 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}) → 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
2827con3dimp 408 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
29 prcom 4736 . . . . . . . 8 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3029fveq2i 6909 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
3231, 25ineq12d 4228 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
349adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3513adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3611adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3715necomd 2993 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
39 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 41544 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) ∈ 𝐴)
4133, 40eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
4228, 41syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 41543 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
4418, 42, 43mpjaodan 960 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cin 3961  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  LModclmod 20874  LSpanclspn 20986  LSAtomsclsa 38955  HLchlt 39331  LHypclh 39966  DVecHcdvh 41060  ocHcoch 41329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lsatoms 38957  df-lshyp 38958  df-lcv 39000  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tgrp 40725  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-dveca 40985  df-disoa 41011  df-dvech 41061  df-dib 41121  df-dic 41155  df-dih 41211  df-doch 41330  df-djh 41377
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  41546  lcfrlem40  41564
  Copyright terms: Public domain W3C validator