MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgvalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgvalb 21690
Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmplusgvalb.a + = (+g𝑅)
frlmplusgvalb.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgvalb (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐵)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2727 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5frlmbasmap 21680 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑍𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8 fvexd 6906 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
98, 1elmapd 8850 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
107, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1110ffnd 6717 . . 3 (𝜑𝑍 Fn 𝐼)
12 frlmplusgvalb.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
133frlmlmod 21670 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
1412, 1, 13syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
15 lmodgrp 20739 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
17 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
18 frlmplusgvalb.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 frlmplusgvalb.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
205, 19grpcl 18889 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2116, 17, 18, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
223, 4, 5frlmbasmap 21680 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
231, 21, 22syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
248, 1elmapd 8850 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
2523, 24mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6717 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) Fn 𝐼)
27 eqfnfv 7034 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2811, 26, 27syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2912adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
301adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
3117adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
3218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
33 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmplusgvalb.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
353, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19frlmvplusgvalc 21688 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖)))
3635eqeq2d 2738 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3736ralbidva 3170 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3828, 37bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8836  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Grpcgrp 18881  Ringcrg 20164  LModclmod 20732   freeLMod cfrlm 21667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668
This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  21692
  Copyright terms: Public domain W3C validator