MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgvalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgvalb 21315
Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmplusgvalb.a + = (+g𝑅)
frlmplusgvalb.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgvalb (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐵)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5frlmbasmap 21305 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑍𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8 fvexd 6903 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
98, 1elmapd 8830 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
107, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1110ffnd 6715 . . 3 (𝜑𝑍 Fn 𝐼)
12 frlmplusgvalb.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
133frlmlmod 21295 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
1412, 1, 13syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
15 lmodgrp 20470 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
17 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
18 frlmplusgvalb.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 frlmplusgvalb.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
205, 19grpcl 18823 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2116, 17, 18, 20syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
223, 4, 5frlmbasmap 21305 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
231, 21, 22syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
248, 1elmapd 8830 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
2523, 24mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6715 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) Fn 𝐼)
27 eqfnfv 7029 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2811, 26, 27syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2912adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
301adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
3117adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
3218adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
33 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmplusgvalb.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
353, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19frlmvplusgvalc 21313 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖)))
3635eqeq2d 2743 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3736ralbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3828, 37bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  LModclmod 20463   freeLMod cfrlm 21292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293
This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  21317
  Copyright terms: Public domain W3C validator