Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgvalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgvalb 20463
 Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmplusgvalb.a + = (+g𝑅)
frlmplusgvalb.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgvalb (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐵)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5frlmbasmap 20453 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑍𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8 fvexd 6661 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
98, 1elmapd 8406 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
107, 9mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1110ffnd 6489 . . 3 (𝜑𝑍 Fn 𝐼)
12 frlmplusgvalb.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
133frlmlmod 20443 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
1412, 1, 13syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
15 lmodgrp 19638 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
17 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
18 frlmplusgvalb.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 frlmplusgvalb.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
205, 19grpcl 18106 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2116, 17, 18, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
223, 4, 5frlmbasmap 20453 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
231, 21, 22syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
248, 1elmapd 8406 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
2523, 24mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6489 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) Fn 𝐼)
27 eqfnfv 6780 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2811, 26, 27syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2912adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
301adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
3117adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
3218adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
33 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmplusgvalb.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
353, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19frlmvplusgvalc 20461 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖)))
3635eqeq2d 2809 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3736ralbidva 3161 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3828, 37bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Grpcgrp 18098  Ringcrg 19294  LModclmod 19631   freeLMod cfrlm 20440 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20426  df-frlm 20441 This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  20465
 Copyright terms: Public domain W3C validator