Theorem frlmplusgvalb 22011

Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgvalb.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgvalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ✚ ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 22001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8		fvexd 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8, 1	elmapd 8843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
10	7, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
12		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3	frlmlmod 21991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
14	12, 1, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
15		lmodgrp 21078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
17		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		frlmplusgvalb.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		frlmplusgvalb.p	. . . . . . . 8 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
20	5, 19	grpcl 19088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	frlmbasmap 22001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
23	1, 21, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
24	8, 1	elmapd 8843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
25	23, 24	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffnd 6705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼)
27		eqfnfv 7024	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
28	11, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
29	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmplusgvalb.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
35	3, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19	frlmvplusgvalc 22009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖)))
36	35	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
37	36	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
38	28, 37	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17323  +_gcplusg 17364  Grpcgrp 19080  Ringcrg 20395  LModclmod 21071   freeLMod cfrlm 21988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-ip 17382  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-hom 17388  df-cco 17389  df-0g 17548  df-prds 17554  df-pws 17556  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-sbg 19085  df-subg 19269  df-cmn 19932  df-abl 19933  df-mgp 20297  df-rng 20311  df-ur 20344  df-ring 20397  df-subrg 20758  df-lmod 21073  df-lss 21143  df-sra 21384  df-rgmod 21385  df-dsmm 21974  df-frlm 21989

This theorem is used by:  frlmvplusgscavalb  22013