Theorem frlmplusgvalb 22090

Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgvalb.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgvalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   + ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 22080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8		fvexd 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8, 1	elmapd 8874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
10	7, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
12		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3	frlmlmod 22070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
14	12, 1, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
15		lmodgrp 21157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
17		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		frlmplusgvalb.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		frlmplusgvalb.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐹)
20	5, 19	grpcl 19167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	frlmbasmap 22080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
23	1, 21, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
24	8, 1	elmapd 8874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 + 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
25	23, 24	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffnd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) Fn 𝐼)
27		eqfnfv 7040	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 + 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖)))
28	11, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖)))
29	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmplusgvalb.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
35	3, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19	frlmvplusgvalc 22088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖)))
36	35	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
37	36	ralbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
38	28, 37	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  Vcvv 3454   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  Grpcgrp 19159  Ringcrg 20474  LModclmod 21150   freeLMod cfrlm 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-dsmm 22053  df-frlm 22068

This theorem is used by:  frlmvplusgscavalb  22092