Theorem frlmplusgvalb 20913

Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgvalb.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgvalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ✚ ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 20903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8		fvexd 6685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8, 1	elmapd 8420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
10	7, 9	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6515	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
12		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3	frlmlmod 20893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
14	12, 1, 13	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
15		lmodgrp 19641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
17		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		frlmplusgvalb.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		frlmplusgvalb.p	. . . . . . . 8 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
20	5, 19	grpcl 18111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	frlmbasmap 20903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
23	1, 21, 22	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
24	8, 1	elmapd 8420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
25	23, 24	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffnd 6515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼)
27		eqfnfv 6802	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
28	11, 26, 27	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
29	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	18	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
33		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmplusgvalb.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
35	3, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19	frlmvplusgvalc 20911	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖)))
36	35	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
37	36	ralbidva 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
38	28, 37	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  Ringcrg 19297  LModclmod 19634   freeLMod cfrlm 20890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891

This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  20915