MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmplusgvalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmplusgvalb 20731
Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmplusgvalb.a + = (+g𝑅)
frlmplusgvalb.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmplusgvalb (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐵)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5frlmbasmap 20721 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑍𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8 fvexd 6732 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
98, 1elmapd 8522 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
107, 9mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1110ffnd 6546 . . 3 (𝜑𝑍 Fn 𝐼)
12 frlmplusgvalb.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
133frlmlmod 20711 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
1412, 1, 13syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
15 lmodgrp 19906 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
17 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
18 frlmplusgvalb.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 frlmplusgvalb.p . . . . . . . 8 = (+g𝐹)
205, 19grpcl 18373 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2116, 17, 18, 20syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
223, 4, 5frlmbasmap 20721 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
231, 21, 22syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
248, 1elmapd 8522 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
2523, 24mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6546 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) Fn 𝐼)
27 eqfnfv 6852 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2811, 26, 27syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖)))
2912adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
301adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
3117adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
3218adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
33 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmplusgvalb.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
353, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19frlmvplusgvalc 20729 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖)))
3635eqeq2d 2748 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3736ralbidva 3117 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
3828, 37bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 𝑌) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝑋𝑖) + (𝑌𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Grpcgrp 18365  Ringcrg 19562  LModclmod 19899   freeLMod cfrlm 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-dsmm 20694  df-frlm 20709
This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  20733
  Copyright terms: Public domain W3C validator