Theorem frlmplusgvalb 21724

Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgvalb.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgvalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   ✚ ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 21714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8, 1	elmapd 8777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
10	7, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
12		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3	frlmlmod 21704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
14	12, 1, 13	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
15		lmodgrp 20818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
17		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		frlmplusgvalb.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		frlmplusgvalb.p	. . . . . . . 8 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
20	5, 19	grpcl 18871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	frlmbasmap 21714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
23	1, 21, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
24	8, 1	elmapd 8777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ✚ 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
25	23, 24	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼)
27		eqfnfv 6976	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 ✚ 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
28	11, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖)))
29	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
33		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmplusgvalb.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
35	3, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19	frlmvplusgvalc 21722	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖)))
36	35	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
37	36	ralbidva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 ✚ 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
38	28, 37	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 ✚ 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Grpcgrp 18863  Ringcrg 20168  LModclmod 20811   freeLMod cfrlm 21701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702

This theorem is referenced by:  frlmvplusgscavalb  21726