Theorem frlmplusgvalb 22076

Description: Addition in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmplusgvalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmplusgvalb.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmplusgvalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝑖,𝑌   + ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmplusgvalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 22066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
8		fvexd 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8, 1	elmapd 8861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅)))
10	7, 9	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11	10	ffnd 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
12		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3	frlmlmod 22056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
14	12, 1, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
15		lmodgrp 21143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
17		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		frlmplusgvalb.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
19		frlmplusgvalb.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐹)
20	5, 19	grpcl 19153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
21	16, 17, 18, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	3, 4, 5	frlmbasmap 22066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
23	1, 21, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
24	8, 1	elmapd 8861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑋 + 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
25	23, 24	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffnd 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) Fn 𝐼)
27		eqfnfv 7030	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝑋 + 𝑌) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖)))
28	11, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖)))
29	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmplusgvalb.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
35	3, 5, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 19	frlmvplusgvalc 22074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖)))
36	35	eqeq2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
37	36	ralbidva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋 + 𝑌)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))
38	28, 37	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑋 + 𝑌) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝑋‘𝑖) + (𝑌‘𝑖))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8848  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  Grpcgrp 19145  Ringcrg 20460  LModclmod 21136   freeLMod cfrlm 22053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054

This theorem is used by:  frlmvplusgscavalb  22078