MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 24638
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 20909 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
2 srngring 20195 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
4 eqid 2737 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21039 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 687 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20213 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2737 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2737 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 24475 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
1514rrxval 24634 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6816 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6816 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
198, 10tcphbas 24466 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2802 . . 3 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 24635 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4024 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 3985 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3931 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6816 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 24637 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
278, 11tcphip 24472 . . . . . . . . . 10 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
31 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → = 𝑓)
3231fveq1d 6814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥) = (𝑓𝑥))
33 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3532, 34oveq12d 7335 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
37 elmapi 8687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3938ffvelcdmda 7001 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
4039recnd 11083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4140adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4241sqvald 13941 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)↑2) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4336, 42eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑2))
4443mpteq2dva 5187 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))
4544oveq2d 7333 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
46 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7352 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7467 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
4924, 48syldan 591 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5049eqcomd 2743 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) = (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6816 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))) = (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5176 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2788 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3404  Vcvv 3441   class class class wbr 5087  cmpt 5170  wf 6462  cfv 6466  (class class class)co 7317  cmpo 7319  m cmap 8665   finSupp cfsupp 9205  cc 10949  cr 10950  0cc0 10951   · cmul 10956  2c2 12108  cexp 13862  csqrt 15023  Basecbs 16989  ·𝑖cip 17044   Σg cgsu 17228  Grpcgrp 18653  Ringcrg 19858  *-Ringcsr 20187  LModclmod 20206  fldcrefld 20892   freeLMod cfrlm 21036  normcnm 23815  toℂPreHilctcph 24414  ℝ^crrx 24630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-rp 12811  df-fz 13320  df-seq 13802  df-exp 13863  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-0g 17229  df-prds 17235  df-pws 17237  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-mhm 18507  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-subg 18828  df-ghm 18908  df-cmn 19463  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-cring 19861  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-dvr 20000  df-rnghom 20034  df-drng 20072  df-field 20073  df-subrg 20104  df-staf 20188  df-srng 20189  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-sra 20517  df-rgmod 20518  df-cnfld 20681  df-refld 20893  df-dsmm 21022  df-frlm 21037  df-nm 23821  df-tng 23823  df-tcph 24416  df-rrx 24632
This theorem is referenced by:  rrxds  24640
  Copyright terms: Public domain W3C validator