MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 24908
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐡   𝑓,𝐼,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 21174 . . . . 5 ℝfld ∈ *-Ring
2 srngring 20460 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring β†’ ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ℝfld ∈ Ring
4 eqid 2733 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21304 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20478 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2733 . . . 4 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2733 . . . 4 (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2733 . . . 4 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 24745 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
1514rrxval 24904 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6896 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜π») = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6896 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
198, 10tcphbas 24736 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2798 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 24905 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 4037 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3983 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜π») = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 24907 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π»))
278, 11tcphip 24742 . . . . . . . . . 10 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ β„Ž = 𝑓)
3231fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
33 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
3532, 34oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
37 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3938ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4039recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4140adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241sqvald 14108 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4336, 42eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))
4443mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))
4544oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
46 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7444 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7560 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
4924, 48syldan 592 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
5049eqcomd 2739 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) = (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6896 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))) = (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5238 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2784 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  2c2 12267  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  Basecbs 17144  Β·π‘–cip 17202   Ξ£g cgsu 17386  Grpcgrp 18819  Ringcrg 20056  *-Ringcsr 20452  LModclmod 20471  β„fldcrefld 21157   freeLMod cfrlm 21301  normcnm 24085  toβ„‚PreHilctcph 24684  β„^crrx 24900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-nm 24091  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902
This theorem is referenced by:  rrxds  24910
  Copyright terms: Public domain W3C validator