MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 24899
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐡   𝑓,𝐼,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 21165 . . . . 5 ℝfld ∈ *-Ring
2 srngring 20452 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring β†’ ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ℝfld ∈ Ring
4 eqid 2732 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21295 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 688 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20470 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2732 . . . 4 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2732 . . . 4 (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2732 . . . 4 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 24736 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
1514rrxval 24895 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6892 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜π») = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6892 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
198, 10tcphbas 24727 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2797 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 24896 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 4035 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3981 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜π») = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 24898 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π»))
278, 11tcphip 24733 . . . . . . . . . 10 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2783 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ β„Ž = 𝑓)
3231fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
3532, 34oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
37 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3938ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4039recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4140adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241sqvald 14104 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4336, 42eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))
4443mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))
4544oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
46 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7556 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
4924, 48syldan 591 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
5049eqcomd 2738 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) = (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6892 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))) = (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5236 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2783 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  2c2 12263  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  Basecbs 17140  Β·π‘–cip 17198   Ξ£g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  *-Ringcsr 20444  LModclmod 20463  β„fldcrefld 21148   freeLMod cfrlm 21292  normcnm 24076  toβ„‚PreHilctcph 24675  β„^crrx 24891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-nm 24082  df-tng 24084  df-tcph 24677  df-rrx 24893
This theorem is referenced by:  rrxds  24901
  Copyright terms: Public domain W3C validator