MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 25407
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 21613 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
2 srngring 20821 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
4 eqid 2726 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21743 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 688 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20839 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2726 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2726 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2726 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2726 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 25244 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
1514rrxval 25403 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6897 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6897 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
198, 10tcphbas 25235 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2791 . . 3 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 25404 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4073 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 4033 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3978 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6897 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 25406 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
278, 11tcphip 25241 . . . . . . . . . 10 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2777 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → = 𝑓)
3231fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥) = (𝑓𝑥))
33 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3532, 34oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3635adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
37 elmapi 8870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3837adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3938ffvelcdmda 7090 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
4039recnd 11283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4140adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4241sqvald 14156 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)↑2) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4336, 42eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑2))
4443mpteq2dva 5245 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))
4544oveq2d 7432 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
46 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7451 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7570 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
4924, 48syldan 589 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5049eqcomd 2732 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) = (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6897 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))) = (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5234 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2777 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462   class class class wbr 5145  cmpt 5228  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418  m cmap 8847   finSupp cfsupp 9398  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149   · cmul 11154  2c2 12313  cexp 14075  csqrt 15233  Basecbs 17208  ·𝑖cip 17266   Σg cgsu 17450  Grpcgrp 18923  Ringcrg 20212  *-Ringcsr 20813  LModclmod 20832  fldcrefld 21596   freeLMod cfrlm 21740  normcnm 24573  toℂPreHilctcph 25183  ℝ^crrx 25399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-drng 20705  df-field 20706  df-staf 20814  df-srng 20815  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-cnfld 21340  df-refld 21597  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-nm 24579  df-tng 24581  df-tcph 25185  df-rrx 25401
This theorem is referenced by:  rrxds  25409
  Copyright terms: Public domain W3C validator