Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 24084
 Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recrng 20379 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
2 srngring 19684 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
4 eqid 2759 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 20507 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 19702 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2759 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2759 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2759 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2759 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 23921 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
1514rrxval 24080 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6663 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6663 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
198, 10tcphbas 23912 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2819 . . 3 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 24081 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 3985 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 3947 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3893 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6663 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 24083 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
278, 11tcphip 23918 . . . . . . . . . 10 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2805 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
3029adantr 485 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
31 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → = 𝑓)
3231fveq1d 6661 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥) = (𝑓𝑥))
33 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6661 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3532, 34oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3635adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
37 elmapi 8439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3837adantl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3938ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
4039recnd 10700 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4140adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4241sqvald 13550 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)↑2) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4336, 42eqtr4d 2797 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑2))
4443mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))
4544oveq2d 7167 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
46 simpr 489 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7186 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7298 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
4924, 48syldan 595 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5049eqcomd 2765 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) = (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6663 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))) = (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5117 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2805 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {crab 3075  Vcvv 3410   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∈ cmpo 7153   ↑m cmap 8417   finSupp cfsupp 8859  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   · cmul 10573  2c2 11722  ↑cexp 13472  √csqrt 14633  Basecbs 16534  ·𝑖cip 16621   Σg cgsu 16765  Grpcgrp 18162  Ringcrg 19358  *-Ringcsr 19676  LModclmod 19695  ℝfldcrefld 20362   freeLMod cfrlm 20504  normcnm 23271  toℂPreHilctcph 23861  ℝ^crrx 24076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-prds 16772  df-pws 16774  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-subg 18336  df-ghm 18416  df-cmn 18968  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-cring 19361  df-oppr 19437  df-dvdsr 19455  df-unit 19456  df-invr 19486  df-dvr 19497  df-rnghom 19531  df-drng 19565  df-field 19566  df-subrg 19594  df-staf 19677  df-srng 19678  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-cnfld 20160  df-refld 20363  df-dsmm 20490  df-frlm 20505  df-nm 23277  df-tng 23279  df-tcph 23863  df-rrx 24078 This theorem is referenced by:  rrxds  24086
 Copyright terms: Public domain W3C validator