MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 24758
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐡   𝑓,𝐼,π‘₯   𝑓,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 21028 . . . . 5 ℝfld ∈ *-Ring
2 srngring 20314 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring β†’ ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ℝfld ∈ Ring
4 eqid 2737 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21158 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20332 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . 4 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2737 . . . 4 (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2737 . . . 4 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 24595 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
1514rrxval 24754 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6847 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (normβ€˜π») = (normβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6847 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
198, 10tcphbas 24586 . . . 4 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2802 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 24755 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4038 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 3999 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3945 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜π») = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 24757 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π»))
278, 11tcphip 24592 . . . . . . . . . 10 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ β„Ž = 𝑓)
3231fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
33 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
3532, 34oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
37 elmapi 8788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
3938ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4039recnd 11184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4140adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241sqvald 14049 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4336, 42eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))
4443mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))
4544oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ (β„Ž = 𝑓 ∧ 𝑔 = 𝑓)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
46 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7393 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7508 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
4924, 48syldan 592 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))
5049eqcomd 2743 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))) = (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6847 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2)))) = (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5195 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2788 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)↑2))))) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑m cmap 8766   finSupp cfsupp 9306  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052   Β· cmul 11057  2c2 12209  β†‘cexp 13968  βˆšcsqrt 15119  Basecbs 17084  Β·π‘–cip 17139   Ξ£g cgsu 17323  Grpcgrp 18749  Ringcrg 19965  *-Ringcsr 20306  LModclmod 20325  β„fldcrefld 21011   freeLMod cfrlm 21155  normcnm 23935  toβ„‚PreHilctcph 24534  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cmn 19565  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-nm 23941  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrxds  24760
  Copyright terms: Public domain W3C validator