MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxnm 25426
Description: The norm of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxnm (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem rrxnm
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resrng 21640 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
2 srngring 20848 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
4 eqid 2736 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
54frlmlmod 21770 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
63, 5mpan 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
7 lmodgrp 20866 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
8 eqid 2736 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
9 eqid 2736 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 eqid 2736 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
128, 9, 10, 11tchnmfval 25263 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
136, 7, 123syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
14 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
1514rrxval 25422 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1615fveq2d 6909 . 2 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1715fveq2d 6909 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
18 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
198, 10tcphbas 25254 . . . 4 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2017, 18, 193eqtr4g 2801 . . 3 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2114, 18rrxbase 25423 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0})
22 ssrab2 4079 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
2321, 22eqsstrdi 4027 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
2423sselda 3982 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
2515fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2614, 18rrxip 25425 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
278, 11tcphip 25260 . . . . . . . . . 10 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2925, 26, 283eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))))
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → = 𝑓)
3231fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥) = (𝑓𝑥))
33 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → 𝑔 = 𝑓)
3433fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑔𝑥) = (𝑓𝑥))
3532, 34oveq12d 7450 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
37 elmapi 8890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
3938ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
4039recnd 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4140adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
4241sqvald 14184 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)↑2) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4336, 42eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑2))
4443mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))
4544oveq2d 7448 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ ( = 𝑓𝑔 = 𝑓)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
46 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
47 ovexd 7467 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) ∈ V)
4830, 45, 46, 46, 47ovmpod 7586 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
4924, 48syldan 591 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))
5049eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))) = (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
5150fveq2d 6909 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2)))) = (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓)))
5220, 51mpteq12dva 5230 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (√‘(𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))))
5313, 16, 523eqtr4rd 2787 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  cmpt 5224  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  m cmap 8867   finSupp cfsupp 9402  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161  2c2 12322  cexp 14103  csqrt 15273  Basecbs 17248  ·𝑖cip 17303   Σg cgsu 17486  Grpcgrp 18952  Ringcrg 20231  *-Ringcsr 20840  LModclmod 20859  fldcrefld 21623   freeLMod cfrlm 21767  normcnm 24590  toℂPreHilctcph 25202  ℝ^crrx 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-nm 24596  df-tng 24598  df-tcph 25204  df-rrx 25420
This theorem is referenced by:  rrxds  25428
  Copyright terms: Public domain W3C validator