Theorem frlmsubgval 22086

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmsubval.a	⊢ − = (-g‘𝑅)
frlmsubval.p	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	frlmpws 22071	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
9	1, 8	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10	9	oveqd 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11		rlmlmod 21493	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	2, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14	13	pwslmod 21260	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
15	12, 3, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
17	4, 5, 16	frlmlss 22072	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18	2, 3, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19	16	lsssubg 21247	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
20	15, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21		frlmsubval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		frlmsubval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
26	23, 24, 25	subgsub 19364	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28		lmodgrp 21157	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
29	2, 11, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	4, 30, 5	frlmbasmap 22080	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
32	3, 21, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33		rlmbas 21483	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
34	13, 33	pwsbas 17673	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
35	29, 3, 34	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
36	32, 35	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	4, 30, 5	frlmbasmap 22080	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
38	3, 22, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
39	38, 35	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41		frlmsubval.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
42		rlmsub 21486	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
43	41, 42	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
44	13, 40, 43, 23	pwssub 19279	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7701   ↑_m cmap 8861  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423   ↑_s cpws 17632  Grpcgrp 19159  -_gcsg 19161  SubGrpcsubg 19345  Ringcrg 20474  LModclmod 21150  LSubSpclss 21221  ringLModcrglmod 21462   freeLMod cfrlm 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-dsmm 22053  df-frlm 22068

This theorem is used by:  matsubgcell  22764  rrxds  25729