Theorem frlmsubgval 21718

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmsubval.a	⊢ − = (-g‘𝑅)
frlmsubval.p	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	frlmpws 21703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
9	1, 8	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10	9	oveqd 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11		rlmlmod 21153	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14	13	pwslmod 20919	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
15	12, 3, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
17	4, 5, 16	frlmlss 21704	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18	2, 3, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19	16	lsssubg 20906	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
20	15, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21		frlmsubval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		frlmsubval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
26	23, 24, 25	subgsub 19066	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28		lmodgrp 20816	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
29	2, 11, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	4, 30, 5	frlmbasmap 21712	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
32	3, 21, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33		rlmbas 21143	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
34	13, 33	pwsbas 17405	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
35	29, 3, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
36	32, 35	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	4, 30, 5	frlmbasmap 21712	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
38	3, 22, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
39	38, 35	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41		frlmsubval.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
42		rlmsub 21146	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
43	41, 42	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
44	13, 40, 43, 23	pwssub 18982	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8761  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155   ↑_s cpws 17364  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  SubGrpcsubg 19048  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LSubSpclss 20880  ringLModcrglmod 21122   freeLMod cfrlm 21699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-dsmm 21685  df-frlm 21700

This theorem is referenced by:  matsubgcell  22376  rrxds  25347