MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsubgval 21679
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmsubval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmsubval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
frlmsubval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
frlmsubval.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
frlmsubval.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
frlmsubval.a โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
frlmsubval.p ๐‘€ = (-gโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval (๐œ‘ โ†’ (๐น๐‘€๐บ) = (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ))

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4 ๐‘€ = (-gโ€˜๐‘Œ)
2 frlmsubval.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 frlmsubval.i . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
4 frlmsubval.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
5 frlmsubval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
64, 5frlmpws 21664 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
72, 3, 6syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
87fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-gโ€˜๐‘Œ) = (-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
91, 8eqtrid 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)))
109oveqd 7431 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น๐‘€๐บ) = (๐น(-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))๐บ))
11 rlmlmod 21078 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ LMod)
122, 11syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ LMod)
13 eqid 2727 . . . . . 6 ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) = ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)
1413pwslmod 20836 . . . . 5 (((ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ LMod โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โˆˆ LMod)
1512, 3, 14syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โˆˆ LMod)
16 eqid 2727 . . . . . 6 (LSubSpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (LSubSpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
174, 5, 16frlmlss 21665 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ต โˆˆ (LSubSpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
182, 3, 17syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (LSubSpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
1916lsssubg 20823 . . . 4 ((((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โˆˆ LMod โˆง ๐ต โˆˆ (LSubSpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))) โ†’ ๐ต โˆˆ (SubGrpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
2015, 18, 19syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (SubGrpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
21 frlmsubval.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
22 frlmsubval.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
23 eqid 2727 . . . 4 (-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
24 eqid 2727 . . . 4 (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต) = (((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)
25 eqid 2727 . . . 4 (-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต)) = (-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))
2623, 24, 25subgsub 19077 . . 3 ((๐ต โˆˆ (SubGrpโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) โˆง ๐น โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น(-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ) = (๐น(-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))๐บ))
2720, 21, 22, 26syl3anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ) = (๐น(-gโ€˜(((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ) โ†พs ๐ต))๐บ))
28 lmodgrp 20732 . . . 4 ((ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ LMod โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ Grp)
292, 11, 283syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ Grp)
30 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
314, 30, 5frlmbasmap 21673 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐น โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ))
323, 21, 31syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ))
33 rlmbas 21068 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
3413, 33pwsbas 17454 . . . . 5 (((ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ Grp โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3529, 3, 34syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
3632, 35eleqtrd 2830 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
374, 30, 5frlmbasmap 21673 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐บ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ))
383, 22, 37syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐ผ))
3938, 35eleqtrd 2830 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))
40 eqid 2727 . . . 4 (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) = (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))
41 frlmsubval.a . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
42 rlmsub 21071 . . . . 5 (-gโ€˜๐‘…) = (-gโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
4341, 42eqtri 2755 . . . 4 โˆ’ = (-gโ€˜(ringLModโ€˜๐‘…))
4413, 40, 43, 23pwssub 18994 . . 3 ((((ringLModโ€˜๐‘…) โˆˆ Grp โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐น โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)) โˆง ๐บ โˆˆ (Baseโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ)))) โ†’ (๐น(-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ) = (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ))
4529, 3, 36, 39, 44syl22anc 838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(-gโ€˜((ringLModโ€˜๐‘…) โ†‘s ๐ผ))๐บ) = (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ))
4610, 27, 453eqtr2d 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น๐‘€๐บ) = (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7675   โ†‘m cmap 8834  Basecbs 17165   โ†พs cress 17194   โ†‘s cpws 17413  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  SubGrpcsubg 19059  Ringcrg 20157  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  ringLModcrglmod 21039   freeLMod cfrlm 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661
This theorem is referenced by:  matsubgcell  22310  rrxds  25295
  Copyright terms: Public domain W3C validator