Theorem frlmsubgval 20882

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmsubval.a	⊢ − = (-g‘𝑅)
frlmsubval.p	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	frlmpws 20867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
9	1, 8	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10	9	oveqd 7272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11		rlmlmod 20388	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14	13	pwslmod 20147	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
15	12, 3, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
17	4, 5, 16	frlmlss 20868	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18	2, 3, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19	16	lsssubg 20134	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
20	15, 18, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21		frlmsubval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		frlmsubval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
26	23, 24, 25	subgsub 18682	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28		lmodgrp 20045	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
29	2, 11, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	4, 30, 5	frlmbasmap 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
32	3, 21, 31	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33		rlmbas 20378	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
34	13, 33	pwsbas 17115	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
35	29, 3, 34	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
36	32, 35	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	4, 30, 5	frlmbasmap 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
38	3, 22, 37	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
39	38, 35	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41		frlmsubval.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
42		rlmsub 20381	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
43	41, 42	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
44	13, 40, 43, 23	pwssub 18604	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867   ↑_s cpws 17074  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  SubGrpcsubg 18664  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  ringLModcrglmod 20346   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864

This theorem is referenced by:  matsubgcell  21491  rrxds  24462