Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsubgval 20458
 Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmsubval.f (𝜑𝐹𝐵)
frlmsubval.g (𝜑𝐺𝐵)
frlmsubval.a = (-g𝑅)
frlmsubval.p 𝑀 = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4 𝑀 = (-g𝑌)
2 frlmsubval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 frlmsubval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmsubval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmsubval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5frlmpws 20443 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
72, 3, 6syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
87fveq2d 6653 . . . 4 (𝜑 → (-g𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
91, 8syl5eq 2848 . . 3 (𝜑𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
109oveqd 7156 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11 rlmlmod 19974 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13 eqid 2801 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
1413pwslmod 19739 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
1512, 3, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16 eqid 2801 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
174, 5, 16frlmlss 20444 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
182, 3, 17syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1916lsssubg 19726 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2015, 18, 19syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21 frlmsubval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
22 frlmsubval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
23 eqid 2801 . . . 4 (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24 eqid 2801 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25 eqid 2801 . . . 4 (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
2623, 24, 25subgsub 18287 . . 3 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
2720, 21, 22, 26syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28 lmodgrp 19638 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
292, 11, 283syl 18 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
314, 30, 5frlmbasmap 20452 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
323, 21, 31syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33 rlmbas 19964 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3413, 33pwsbas 16756 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3529, 3, 34syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3632, 35eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
374, 30, 5frlmbasmap 20452 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
383, 22, 37syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
3938, 35eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40 eqid 2801 . . . 4 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41 frlmsubval.a . . . . 5 = (-g𝑅)
42 rlmsub 19967 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4341, 42eqtri 2824 . . . 4 = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4413, 40, 43, 23pwssub 18209 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4529, 3, 36, 39, 44syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4610, 27, 453eqtr2d 2842 1 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Basecbs 16479   ↾s cress 16480   ↑s cpws 16716  Grpcgrp 18099  -gcsg 18101  SubGrpcsubg 18269  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  LSubSpclss 19700  ringLModcrglmod 19938   freeLMod cfrlm 20439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20425  df-frlm 20440 This theorem is referenced by:  matsubgcell  21043  rrxds  24001
 Copyright terms: Public domain W3C validator