MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsubgval 21803
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmsubval.f (𝜑𝐹𝐵)
frlmsubval.g (𝜑𝐺𝐵)
frlmsubval.a = (-g𝑅)
frlmsubval.p 𝑀 = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4 𝑀 = (-g𝑌)
2 frlmsubval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 frlmsubval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmsubval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmsubval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5frlmpws 21788 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
87fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (-g𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
91, 8eqtrid 2787 . . 3 (𝜑𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
109oveqd 7448 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11 rlmlmod 21228 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13 eqid 2735 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
1413pwslmod 20986 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
1512, 3, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16 eqid 2735 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
174, 5, 16frlmlss 21789 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
182, 3, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1916lsssubg 20973 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2015, 18, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21 frlmsubval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
22 frlmsubval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
23 eqid 2735 . . . 4 (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24 eqid 2735 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25 eqid 2735 . . . 4 (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
2623, 24, 25subgsub 19169 . . 3 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
2720, 21, 22, 26syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28 lmodgrp 20882 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
292, 11, 283syl 18 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
314, 30, 5frlmbasmap 21797 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
323, 21, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33 rlmbas 21218 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3413, 33pwsbas 17534 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3529, 3, 34syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3632, 35eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
374, 30, 5frlmbasmap 21797 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
383, 22, 37syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
3938, 35eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40 eqid 2735 . . . 4 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41 frlmsubval.a . . . . 5 = (-g𝑅)
42 rlmsub 21221 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4341, 42eqtri 2763 . . . 4 = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4413, 40, 43, 23pwssub 19085 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4529, 3, 36, 39, 44syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4610, 27, 453eqtr2d 2781 1 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Basecbs 17245  s cress 17274  s cpws 17493  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  ringLModcrglmod 21189   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  matsubgcell  22456  rrxds  25441
  Copyright terms: Public domain W3C validator