MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsubgval 20519
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmsubval.f (𝜑𝐹𝐵)
frlmsubval.g (𝜑𝐺𝐵)
frlmsubval.a = (-g𝑅)
frlmsubval.p 𝑀 = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹𝑓 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4 𝑀 = (-g𝑌)
2 frlmsubval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 frlmsubval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmsubval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmsubval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5frlmpws 20504 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
72, 3, 6syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
87fveq2d 6452 . . . 4 (𝜑 → (-g𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
91, 8syl5eq 2826 . . 3 (𝜑𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
109oveqd 6941 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11 rlmlmod 19613 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13 eqid 2778 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
1413pwslmod 19376 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
1512, 3, 14syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16 eqid 2778 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
174, 5, 16frlmlss 20505 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
182, 3, 17syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1916lsssubg 19363 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2015, 18, 19syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21 frlmsubval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
22 frlmsubval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
23 eqid 2778 . . . 4 (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24 eqid 2778 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25 eqid 2778 . . . 4 (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
2623, 24, 25subgsub 18001 . . 3 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
2720, 21, 22, 26syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28 lmodgrp 19273 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
292, 11, 283syl 18 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
314, 30, 5frlmbasmap 20513 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
323, 21, 31syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
33 rlmbas 19603 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3413, 33pwsbas 16544 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3529, 3, 34syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3632, 35eleqtrd 2861 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
374, 30, 5frlmbasmap 20513 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
383, 22, 37syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
3938, 35eleqtrd 2861 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40 eqid 2778 . . . 4 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41 frlmsubval.a . . . . 5 = (-g𝑅)
42 rlmsub 19606 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4341, 42eqtri 2802 . . . 4 = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4413, 40, 43, 23pwssub 17927 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹𝑓 𝐺))
4529, 3, 36, 39, 44syl22anc 829 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹𝑓 𝐺))
4610, 27, 453eqtr2d 2820 1 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹𝑓 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174  𝑚 cmap 8142  Basecbs 16266  s cress 16267  s cpws 16504  Grpcgrp 17820  -gcsg 17822  SubGrpcsubg 17983  Ringcrg 18945  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  ringLModcrglmod 19577   freeLMod cfrlm 20500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-subrg 19181  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-dsmm 20486  df-frlm 20501
This theorem is referenced by:  matsubgcell  20655  rrxds  23610
  Copyright terms: Public domain W3C validator