Theorem frlmsubgval 21701

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmsubval.a	⊢ − = (-g‘𝑅)
frlmsubval.p	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	frlmpws 21686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	2, 3, 6	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
9	1, 8	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10	9	oveqd 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11		rlmlmod 21098	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14	13	pwslmod 20856	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
15	12, 3, 14	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
17	4, 5, 16	frlmlss 21687	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18	2, 3, 17	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19	16	lsssubg 20843	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
20	15, 18, 19	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21		frlmsubval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		frlmsubval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
26	23, 24, 25	subgsub 19095	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28		lmodgrp 20752	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
29	2, 11, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	4, 30, 5	frlmbasmap 21695	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
32	3, 21, 31	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33		rlmbas 21088	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
34	13, 33	pwsbas 17466	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
35	29, 3, 34	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
36	32, 35	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	4, 30, 5	frlmbasmap 21695	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
38	3, 22, 37	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
39	38, 35	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41		frlmsubval.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
42		rlmsub 21091	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
43	41, 42	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
44	13, 40, 43, 23	pwssub 19012	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘_f cof 7679   ↑_m cmap 8841  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206   ↑_s cpws 17425  Grpcgrp 18892  -_gcsg 18894  SubGrpcsubg 19077  Ringcrg 20175  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  ringLModcrglmod 21059   freeLMod cfrlm 21682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683

This theorem is referenced by:  matsubgcell  22352  rrxds  25337