MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsubgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsubgval 21785
Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsubval.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmsubval.f (𝜑𝐹𝐵)
frlmsubval.g (𝜑𝐺𝐵)
frlmsubval.a = (-g𝑅)
frlmsubval.p 𝑀 = (-g𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmsubgval (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval
StepHypRef Expression
1 frlmsubval.p . . . 4 𝑀 = (-g𝑌)
2 frlmsubval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 frlmsubval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmsubval.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmsubval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5frlmpws 21770 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
87fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (-g𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
91, 8eqtrid 2789 . . 3 (𝜑𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
109oveqd 7448 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11 rlmlmod 21210 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
122, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13 eqid 2737 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
1413pwslmod 20968 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
1512, 3, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
174, 5, 16frlmlss 21771 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
182, 3, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1916lsssubg 20955 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
2015, 18, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21 frlmsubval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
22 frlmsubval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
23 eqid 2737 . . . 4 (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24 eqid 2737 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25 eqid 2737 . . . 4 (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
2623, 24, 25subgsub 19156 . . 3 ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
2720, 21, 22, 26syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28 lmodgrp 20865 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
292, 11, 283syl 18 . . 3 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
314, 30, 5frlmbasmap 21779 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
323, 21, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33 rlmbas 21200 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3413, 33pwsbas 17532 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3529, 3, 34syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
3632, 35eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
374, 30, 5frlmbasmap 21779 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
383, 22, 37syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
3938, 35eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40 eqid 2737 . . . 4 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41 frlmsubval.a . . . . 5 = (-g𝑅)
42 rlmsub 21203 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4341, 42eqtri 2765 . . . 4 = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
4413, 40, 43, 23pwssub 19072 . . 3 ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4529, 3, 36, 39, 44syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹f 𝐺))
4610, 27, 453eqtr2d 2783 1 (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹f 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Basecbs 17247  s cress 17274  s cpws 17491  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  ringLModcrglmod 21171   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767
This theorem is referenced by:  matsubgcell  22440  rrxds  25427
  Copyright terms: Public domain W3C validator