Theorem frlmsubgval 21884

Description: Subtraction in a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsubval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsubval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsubval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmsubval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
frlmsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
frlmsubval.a	⊢ − = (-g‘𝑅)
frlmsubval.p	⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmsubgval	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Proof of Theorem frlmsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsubval.p	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (-g‘𝑌)
2		frlmsubval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		frlmsubval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmsubval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmsubval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6	4, 5	frlmpws 21869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-g‘𝑌) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
9	1, 8	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
10	9	oveqd 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
11		rlmlmod 21302	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
12	2, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14	13	pwslmod 21069	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
15	12, 3, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
17	4, 5, 16	frlmlss 21870	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18	2, 3, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
19	16	lsssubg 21056	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
20	15, 18, 19	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
21		frlmsubval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
22		frlmsubval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
23		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
24		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
25		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)) = (-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
26	23, 24, 25	subgsub 19205	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
27	20, 21, 22, 26	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹(-g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))𝐺))
28		lmodgrp 20966	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
29	2, 11, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Grp)
30		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	4, 30, 5	frlmbasmap 21878	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
32	3, 21, 31	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
33		rlmbas 21292	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
34	13, 33	pwsbas 17540	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
35	29, 3, 34	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
36	32, 35	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
37	4, 30, 5	frlmbasmap 21878	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
38	3, 22, 37	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
39	38, 35	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
40		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
41		frlmsubval.a	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
42		rlmsub 21295	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
43	41, 42	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ − = (-g‘(ringLMod‘𝑅))
44	13, 40, 43, 23	pwssub 19120	. . 3 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))) → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
45	29, 3, 36, 39, 44	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(-g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
46	10, 27, 45	3eqtr2d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑀𝐺) = (𝐹 ∘f − 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290   ↑_s cpws 17499  Grpcgrp 19000  -_gcsg 19002  SubGrpcsubg 19186  Ringcrg 20315  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  ringLModcrglmod 21271   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by:  matsubgcell  22560  rrxds  25521