Theorem dochsat 38050

Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsat.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsat.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 37777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochsat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝑆)
8		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dochsat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	8, 9	lss0ss 19410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
12		dochsat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
14	8, 12, 5, 13	lsatn0 35666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑄 = {(0g‘𝑈)})
16	15	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
17	16	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
18		dochsat.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 18, 8, 3	dochoc0 38027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
22	17, 21	eqtrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)})
23	22	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)}))
24	23	necon3d 3005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)}))
25	14, 24	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	necomd 3039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄)
27		df-pss 3876	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄)
29	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 9	lssss 19398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
34	1, 2, 30, 18	dochocss 38033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
36	9, 12, 5, 13	lsatlssel 35664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	9	lsssubg 19419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
40	8, 39	lsm02 18525	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
42	35, 41	sseqtr4d 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
43	1, 2, 3	dvhlvec 37776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8, 9	lsssn0 19409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
46	5, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
47	9, 39, 12, 44, 46, 7, 13	lsmsatcv 35677	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ∧ 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
48	28, 42, 47	mpd3an23 1455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
49	48, 41	eqtr2d 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
50	49, 13	eqeltrrd 2884	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
51	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53	1, 2, 52, 12	dih1dimat 37997	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	3, 53	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 52, 18	dochoc 38034	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
56	51, 54, 55	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
57		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eqeltrd 2883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
59	50, 58	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ⊆ wss 3859   ⊊ wpss 3860  {csn 4472  ran crn 5444  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  0_gc0g 16542  SubGrpcsubg 18027  LSSumclsm 18489  LModclmod 19324  LSubSpclss 19393  LVecclvec 19564  LSAtomsclsa 35641  HLchlt 36017  LHypclh 36651  DVecHcdvh 37745  DIsoHcdih 37895  ocHcoch 38014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-riotaBAD 35620

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-undef 7790  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-0g 16544  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-lsm 18491  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-lvec 19565  df-lsatoms 35643  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166  df-lvols 36167  df-lines 36168  df-psubsp 36170  df-pmap 36171  df-padd 36463  df-lhyp 36655  df-laut 36656  df-ldil 36771  df-ltrn 36772  df-trl 36826  df-tendo 37422  df-edring 37424  df-disoa 37696  df-dvech 37746  df-dib 37806  df-dic 37840  df-dih 37896  df-doch 38015

This theorem is referenced by:  dochsatshpb  38119