Theorem dochsat 39784

Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsat.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsat.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochsat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝑆)
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dochsat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	8, 9	lss0ss 20362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
12		dochsat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
14	8, 12, 5, 13	lsatn0 37399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑄 = {(0g‘𝑈)})
16	15	fveq2d 6843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
17	16	fveq2d 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
18		dochsat.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 18, 8, 3	dochoc0 39761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
22	17, 21	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)})
23	22	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)}))
24	23	necon3d 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)}))
25	14, 24	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	necomd 2997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄)
27		df-pss 3927	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄)
29	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 9	lssss 20350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
34	1, 2, 30, 18	dochocss 39767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
36	9, 12, 5, 13	lsatlssel 37397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	9	lsssubg 20371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
40	8, 39	lsm02 19413	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
42	35, 41	sseqtrrd 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
43	1, 2, 3	dvhlvec 39510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8, 9	lsssn0 20361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
46	5, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
47	9, 39, 12, 44, 46, 7, 13	lsmsatcv 37410	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ∧ 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
48	28, 42, 47	mpd3an23 1463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
49	48, 41	eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
50	49, 13	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
51	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53	1, 2, 52, 12	dih1dimat 39731	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	3, 53	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 52, 18	dochoc 39768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
56	51, 54, 55	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
57		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
59	50, 58	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3908   ⊊ wpss 3909  {csn 4584  ran crn 5632  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  0_gc0g 17281  SubGrpcsubg 18881  LSSumclsm 19375  LModclmod 20275  LSubSpclss 20345  LVecclvec 20516  LSAtomsclsa 37374  HLchlt 37750  LHypclh 38385  DVecHcdvh 39479  DIsoHcdih 39629  ocHcoch 39748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37353

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37376  df-oposet 37576  df-ol 37578  df-oml 37579  df-covers 37666  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-llines 37899  df-lplanes 37900  df-lvols 37901  df-lines 37902  df-psubsp 37904  df-pmap 37905  df-padd 38197  df-lhyp 38389  df-laut 38390  df-ldil 38505  df-ltrn 38506  df-trl 38560  df-tendo 39156  df-edring 39158  df-disoa 39430  df-dvech 39480  df-dib 39540  df-dic 39574  df-dih 39630  df-doch 39749

This theorem is referenced by:  dochsatshpb  39853