Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsat 41006
Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsat.q (𝜑𝑄𝑆)
Assertion
Ref Expression
dochsat (𝜑 → (( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴𝑄𝐴))

Proof of Theorem dochsat
StepHypRef Expression
1 dochsat.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochsat.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochsat.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40733 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6 dochsat.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑆)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄𝑆)
8 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0g𝑈) = (0g𝑈)
9 dochsat.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
108, 9lss0ss 20862 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆) → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑄)
115, 7, 10syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g𝑈)} ⊆ 𝑄)
12 dochsat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴)
148, 12, 5, 13lsatn0 38621 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑄)) ≠ {(0g𝑈)})
15 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g𝑈)}) → 𝑄 = {(0g𝑈)})
1615fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g𝑈)}) → ( 𝑄) = ( ‘{(0g𝑈)}))
1716fveq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g𝑈)}) → ( ‘( 𝑄)) = ( ‘( ‘{(0g𝑈)})))
18 dochsat.o . . . . . . . . . . . . . 14 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
191, 2, 18, 8, 3dochoc0 40983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( ‘( ‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( ‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g𝑈)}) → ( ‘( ‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
2217, 21eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g𝑈)}) → ( ‘( 𝑄)) = {(0g𝑈)})
2322ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g𝑈)} → ( ‘( 𝑄)) = {(0g𝑈)}))
2423necon3d 2950 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ‘( 𝑄)) ≠ {(0g𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g𝑈)}))
2514, 24mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g𝑈)})
2625necomd 2985 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g𝑈)} ≠ 𝑄)
27 df-pss 3964 . . . . . 6 ({(0g𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g𝑈)} ≠ 𝑄))
2811, 26, 27sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g𝑈)} ⊊ 𝑄)
293adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
30 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3130, 9lssss 20849 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑆𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
326, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
341, 2, 30, 18dochocss 40989 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ‘( 𝑄)))
3529, 33, 34syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ‘( 𝑄)))
369, 12, 5, 13lsatlssel 38619 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝑆)
379lsssubg 20870 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ‘( 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
385, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39 eqid 2725 . . . . . . . 8 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
408, 39lsm02 19656 . . . . . . 7 (( ‘( 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄))) = ( ‘( 𝑄)))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄))) = ( ‘( 𝑄)))
4235, 41sseqtrrd 4018 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄))))
431, 2, 3dvhlvec 40732 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4443adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
458, 9lsssn0 20861 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ 𝑆)
465, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g𝑈)} ∈ 𝑆)
479, 39, 12, 44, 46, 7, 13lsmsatcv 38632 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g𝑈)} ⊊ 𝑄𝑄 ⊆ ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄))))
4828, 42, 47mpd3an23 1459 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ‘( 𝑄))))
4948, 41eqtr2d 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑄)) = 𝑄)
5049, 13eqeltrrd 2826 . 2 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄𝐴)
513adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑄𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52 eqid 2725 . . . . . 6 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
531, 2, 52, 12dih1dimat 40953 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
543, 53sylan 578 . . . 4 ((𝜑𝑄𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
551, 52, 18dochoc 40990 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑄)) = 𝑄)
5651, 54, 55syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑄𝐴) → ( ‘( 𝑄)) = 𝑄)
57 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
5856, 57eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑄𝐴) → ( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴)
5950, 58impbida 799 1 (𝜑 → (( ‘( 𝑄)) ∈ 𝐴𝑄𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wss 3944  wpss 3945  {csn 4630  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  0gc0g 17440  SubGrpcsubg 19100  LSSumclsm 19618  LModclmod 20772  LSubSpclss 20844  LVecclvec 21016  LSAtomsclsa 38596  HLchlt 38972  LHypclh 39607  DVecHcdvh 40701  DIsoHcdih 40851  ocHcoch 40970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38575
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-0g 17442  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cntz 19297  df-lsm 19620  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38598  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782  df-tendo 40378  df-edring 40380  df-disoa 40652  df-dvech 40702  df-dib 40762  df-dic 40796  df-dih 40852  df-doch 40971
This theorem is referenced by:  dochsatshpb  41075
  Copyright terms: Public domain W3C validator