Theorem dochsat 41407

Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsat.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsat.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochsat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝑆)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dochsat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	8, 9	lss0ss 20911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
12		dochsat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
14	8, 12, 5, 13	lsatn0 39022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑄 = {(0g‘𝑈)})
16	15	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
17	16	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
18		dochsat.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 18, 8, 3	dochoc0 41384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
22	17, 21	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)})
23	22	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)}))
24	23	necon3d 2954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)}))
25	14, 24	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄)
27		df-pss 3951	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄)
29	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 9	lssss 20898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
34	1, 2, 30, 18	dochocss 41390	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
36	9, 12, 5, 13	lsatlssel 39020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	9	lsssubg 20919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
40	8, 39	lsm02 19658	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
42	35, 41	sseqtrrd 4001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
43	1, 2, 3	dvhlvec 41133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8, 9	lsssn0 20910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
46	5, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
47	9, 39, 12, 44, 46, 7, 13	lsmsatcv 39033	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ∧ 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
48	28, 42, 47	mpd3an23 1465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
49	48, 41	eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
50	49, 13	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
51	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53	1, 2, 52, 12	dih1dimat 41354	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	3, 53	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 52, 18	dochoc 41391	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
56	51, 54, 55	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
57		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
59	50, 58	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932  {csn 4606  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  SubGrpcsubg 19108  LSSumclsm 19620  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LVecclvec 21065  LSAtomsclsa 38997  HLchlt 39373  LHypclh 40008  DVecHcdvh 41102  DIsoHcdih 41252  ocHcoch 41371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lsatoms 38999  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-tendo 40779  df-edring 40781  df-disoa 41053  df-dvech 41103  df-dib 41163  df-dic 41197  df-dih 41253  df-doch 41372

This theorem is referenced by:  dochsatshpb  41476