Theorem dochsat 41386

Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsat.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsat.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochsat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝑆)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dochsat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	8, 9	lss0ss 20948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
12		dochsat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
14	8, 12, 5, 13	lsatn0 39001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑄 = {(0g‘𝑈)})
16	15	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
17	16	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
18		dochsat.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 18, 8, 3	dochoc0 41363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
22	17, 21	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)})
23	22	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)}))
24	23	necon3d 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)}))
25	14, 24	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	necomd 2995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄)
27		df-pss 3970	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄))
28	11, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄)
29	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 9	lssss 20935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
34	1, 2, 30, 18	dochocss 41369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
35	29, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
36	9, 12, 5, 13	lsatlssel 38999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	9	lsssubg 20956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
40	8, 39	lsm02 19691	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
42	35, 41	sseqtrrd 4020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
43	1, 2, 3	dvhlvec 41112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8, 9	lsssn0 20947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
46	5, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
47	9, 39, 12, 44, 46, 7, 13	lsmsatcv 39012	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ∧ 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
48	28, 42, 47	mpd3an23 1464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
49	48, 41	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
50	49, 13	eqeltrrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
51	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53	1, 2, 52, 12	dih1dimat 41333	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	3, 53	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 52, 18	dochoc 41370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
56	51, 54, 55	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
57		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
59	50, 58	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950   ⊊ wpss 3951  {csn 4625  ran crn 5685  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  SubGrpcsubg 19139  LSSumclsm 19653  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LVecclvec 21102  LSAtomsclsa 38976  HLchlt 39352  LHypclh 39987  DVecHcdvh 41081  DIsoHcdih 41231  ocHcoch 41350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lsatoms 38978  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232  df-doch 41351

This theorem is referenced by:  dochsatshpb  41455