Theorem dochsat 39324

Description: The double orthocomplement of an atom is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dochsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsat.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsat.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsat.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
6		dochsat.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝑆)
8		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dochsat.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
10	8, 9	lss0ss 20125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
11	5, 7, 10	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄)
12		dochsat.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
14	8, 12, 5, 13	lsatn0 36940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)})
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑄 = {(0g‘𝑈)})
16	15	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘𝑄) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})))
18		dochsat.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 18, 8, 3	dochoc0 39301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
22	17, 21	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 = {(0g‘𝑈)}) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)})
23	22	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝑄 = {(0g‘𝑈)} → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = {(0g‘𝑈)}))
24	23	necon3d 2963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ≠ {(0g‘𝑈)} → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)}))
25	14, 24	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	necomd 2998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄)
27		df-pss 3902	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ↔ ({(0g‘𝑈)} ⊆ 𝑄 ∧ {(0g‘𝑈)} ≠ 𝑄))
28	11, 26, 27	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄)
29	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 9	lssss 20113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑆 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
32	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈))
34	1, 2, 30, 18	dochocss 39307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ⊆ (Base‘𝑈)) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
35	29, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
36	9, 12, 5, 13	lsatlssel 36938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆)
37	9	lsssubg 20134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	5, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
40	8, 39	lsm02 19193	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))
42	35, 41	sseqtrrd 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
43	1, 2, 3	dvhlvec 39050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LVec)
45	8, 9	lsssn0 20124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
46	5, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → {(0g‘𝑈)} ∈ 𝑆)
47	9, 39, 12, 44, 46, 7, 13	lsmsatcv 36951	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) ∧ {(0g‘𝑈)} ⊊ 𝑄 ∧ 𝑄 ⊆ ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)))) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
48	28, 42, 47	mpd3an23 1461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 = ({(0g‘𝑈)} (LSSum‘𝑈)( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄))))
49	48, 41	eqtr2d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
50	49, 13	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
51	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
52		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
53	1, 2, 52, 12	dih1dimat 39271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
54	3, 53	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
55	1, 52, 18	dochoc 39308	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
56	51, 54, 55	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) = 𝑄)
57		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
58	56, 57	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴)
59	50, 58	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑄)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑄 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4558  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LVecclvec 20279  LSAtomsclsa 36915  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169  ocHcoch 39288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289

This theorem is referenced by:  dochsatshpb  39393