Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochshpsat 40921
Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpsat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpsat.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpsat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpsat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochshpsat.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpsat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochshpsat.x (𝜑𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
dochshpsat (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ↔ ( 𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochshpsat
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
2 dochshpsat.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑌)
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋) → 𝑋𝑌)
41, 3eqeltrd 2829 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ∈ 𝑌)
5 dochshpsat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dochshpsat.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 dochshpsat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9 dochshpsat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 dochshpsat.y . . . . 5 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
11 dochshpsat.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
125, 7, 11dvhlmod 40577 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
138, 10, 12, 2lshplss 38447 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
14 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
1514, 8lssss 20813 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
175, 7, 14, 8, 6dochlss 40821 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( 𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1811, 16, 17syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18dochsatshpb 40919 . . . 4 (𝜑 → (( 𝑋) ∈ 𝐴 ↔ ( ‘( 𝑋)) ∈ 𝑌))
2019adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋) → (( 𝑋) ∈ 𝐴 ↔ ( ‘( 𝑋)) ∈ 𝑌))
214, 20mpbird 257 . 2 ((𝜑 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋) → ( 𝑋) ∈ 𝐴)
22 eqid 2728 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝐴)
2522, 9, 23, 24lsatn0 38465 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ( 𝑋) ≠ {(0g𝑈)})
2625neneqd 2941 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ¬ ( 𝑋) = {(0g𝑈)})
2711adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
285, 7, 6, 14, 22doch0 40825 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = (Base‘𝑈))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ( ‘{(0g𝑈)}) = (Base‘𝑈))
3029eqeq2d 2739 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → (( ‘( 𝑋)) = ( ‘{(0g𝑈)}) ↔ ( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈)))
31 eqid 2728 . . . . . . 7 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
325, 31, 7, 14, 6dochcl 40820 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3311, 16, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
345, 31, 7, 22dih0rn 40751 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {(0g𝑈)} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
365, 31, 6, 11, 33, 35doch11 40840 . . . . . 6 (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) = ( ‘{(0g𝑈)}) ↔ ( 𝑋) = {(0g𝑈)}))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → (( ‘( 𝑋)) = ( ‘{(0g𝑈)}) ↔ ( 𝑋) = {(0g𝑈)}))
3830, 37bitr3d 281 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → (( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( 𝑋) = {(0g𝑈)}))
3926, 38mtbird 325 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ¬ ( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈))
405, 6, 7, 14, 10, 11, 2dochshpncl 40851 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈)))
4140necon1bbid 2976 . . . 4 (𝜑 → (¬ ( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → (¬ ( ‘( 𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋))
4339, 42mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
4421, 43impbida 800 1 (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ↔ ( 𝑋) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3945  {csn 4624  ran crn 5673  cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSAtomsclsa 38440  LSHypclsh 38441  HLchlt 38816  LHypclh 39451  DVecHcdvh 40545  DIsoHcdih 40695  ocHcoch 40814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38419
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38442  df-lshyp 38443  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967  df-lines 38968  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-padd 39263  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626  df-tgrp 40210  df-tendo 40222  df-edring 40224  df-dveca 40470  df-disoa 40496  df-dvech 40546  df-dib 40606  df-dic 40640  df-dih 40696  df-doch 40815  df-djh 40862
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41104
  Copyright terms: Public domain W3C validator