Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochshpsat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochshpsat 40982
Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochshpsat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochshpsat.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochshpsat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochshpsat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
dochshpsat.y π‘Œ = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
dochshpsat.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dochshpsat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dochshpsat (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochshpsat
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2 dochshpsat.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
32adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
41, 3eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ π‘Œ)
5 dochshpsat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 dochshpsat.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dochshpsat.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 eqid 2725 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
9 dochshpsat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
10 dochshpsat.y . . . . 5 π‘Œ = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
11 dochshpsat.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
125, 7, 11dvhlmod 40638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
138, 10, 12, 2lshplss 38508 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
14 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1514, 8lssss 20822 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
175, 7, 14, 8, 6dochlss 40882 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1811, 16, 17syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18dochsatshpb 40980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ π‘Œ))
2019adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴 ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ π‘Œ))
214, 20mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
22 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2312adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
24 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
2522, 9, 23, 24lsatn0 38526 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) β‰  {(0gβ€˜π‘ˆ)})
2625neneqd 2935 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ Β¬ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
2711adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
285, 7, 6, 14, 22doch0 40886 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
3029eqeq2d 2736 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
31 eqid 2725 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
325, 31, 7, 14, 6dochcl 40881 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3311, 16, 32syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
345, 31, 7, 22dih0rn 40812 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3511, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
365, 31, 6, 11, 33, 35doch11 40901 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3736adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3830, 37bitr3d 280 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ) ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) = {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
3926, 38mtbird 324 . . 3 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ Β¬ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
405, 6, 7, 14, 10, 11, 2dochshpncl 40912 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β‰  𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
4140necon1bbid 2970 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋))
4241adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜π‘ˆ) ↔ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋))
4339, 42mpbid 231 . 2 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋)
4421, 43impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑋 ↔ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {csn 4624  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  Basecbs 17177  0gc0g 17418  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSAtomsclsa 38501  LSHypclsh 38502  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  DIsoHcdih 40756  ocHcoch 40875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-lshyp 38504  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tgrp 40271  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dveca 40531  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757  df-doch 40876  df-djh 40923
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  41165
  Copyright terms: Public domain W3C validator