Theorem dochshpsat 42327

Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpsat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochshpsat.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpsat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochshpsat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochshpsat.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochshpsat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochshpsat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dochshpsat	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem dochshpsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
2		dochshpsat.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑌)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑌)
4	1, 3	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑌)
5		dochshpsat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dochshpsat.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochshpsat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9		dochshpsat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		dochshpsat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
11		dochshpsat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	5, 7, 11	dvhlmod 41983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	8, 10, 12, 2	lshplss 39854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
15	14, 8	lssss 21120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
16	13, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈))
17	5, 7, 14, 8, 6	dochlss 42227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	11, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18	dochsatshpb 42325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑌))
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ 𝑌))
21	4, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
23	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ LMod)
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	22, 9, 23, 24	lsatn0 39872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ≠ {(0g‘𝑈)})
26	25	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ¬ ( ⊥ ‘𝑋) = {(0g‘𝑈)})
27	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28	5, 7, 6, 14, 22	doch0 42231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = (Base‘𝑈))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = (Base‘𝑈))
30	29	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈)))
31		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
32	5, 31, 7, 14, 6	dochcl 42226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	11, 16, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34	5, 31, 7, 22	dih0rn 42157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {(0g‘𝑈)} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
35	11, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
36	5, 31, 6, 11, 33, 35	doch11 42246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = {(0g‘𝑈)}))
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = {(0g‘𝑈)}))
38	30, 37	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = {(0g‘𝑈)}))
39	26, 38	mtbird 328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ¬ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈))
40	5, 6, 7, 14, 10, 11, 2	dochshpncl 42257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈)))
41	40	necon1bbid 2994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋))
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → (¬ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = (Base‘𝑈) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋))
43	39, 42	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
44	21, 43	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ran crn 5656  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115  LSAtomsclsa 39847  LSHypclsh 39848  HLchlt 40223  LHypclh 40857  DVecHcdvh 41951  DIsoHcdih 42101  ocHcoch 42220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-0g 17526  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-lsatoms 39849  df-lshyp 39850  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tgrp 41616  df-tendo 41628  df-edring 41630  df-dveca 41876  df-disoa 41902  df-dvech 41952  df-dib 42012  df-dic 42046  df-dih 42102  df-doch 42221  df-djh 42268

This theorem is used by:  mapdordlem2  42510