Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihprrn 38566
Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihprrn.x (𝜑𝑋𝑉)
dihprrn.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
dihprrn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn
StepHypRef Expression
1 prcom 4671 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2 preq2 4673 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g𝑈)})
31, 2syl5eq 2871 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g𝑈)})
43fveq2d 6677 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}))
5 dihprrn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
7 dihprrn.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 dihprrn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dihprrn.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihprrn.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10dvhlmod 38250 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 dihprrn.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
135, 6, 7, 11, 12lsppr0 19867 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
144, 13sylan9eqr 2881 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15 dihprrn.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
168, 9, 5, 7, 15dihlsprn 38471 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1710, 12, 16syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1817adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20 preq2 4673 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g𝑈)})
2120fveq2d 6677 . . . 4 (𝑌 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}))
22 dihprrn.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
235, 6, 7, 11, 22lsppr0 19867 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
2421, 23sylan9eqr 2881 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
258, 9, 5, 7, 15dihlsprn 38471 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2610, 22, 25syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2726adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2824, 27eqeltrd 2916 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
2910adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3022adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝑉)
3112adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝑉)
32 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
33 simprr 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
348, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33dihprrnlem2 38565 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
3519, 28, 34pm2.61da2ne 3108 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  {csn 4570  {cpr 4572  ran crn 5559  cfv 6358  Basecbs 16486  0gc0g 16716  LSpanclspn 19746  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DVecHcdvh 38218  DIsoHcdih 38368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-lsatoms 36116  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tgrp 37883  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-dveca 38143  df-disoa 38169  df-dvech 38219  df-dib 38279  df-dic 38313  df-dih 38369  df-doch 38488  df-djh 38535
This theorem is referenced by:  djhlsmat  38567  lclkrlem2v  38668  lcfrlem23  38705
  Copyright terms: Public domain W3C validator