Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihprrn 37580
 Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihprrn.x (𝜑𝑋𝑉)
dihprrn.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
dihprrn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn
StepHypRef Expression
1 prcom 4499 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2 preq2 4501 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g𝑈)})
31, 2syl5eq 2826 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g𝑈)})
43fveq2d 6450 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}))
5 dihprrn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
7 dihprrn.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 dihprrn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dihprrn.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihprrn.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10dvhlmod 37264 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 dihprrn.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
135, 6, 7, 11, 12lsppr0 19487 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
144, 13sylan9eqr 2836 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15 dihprrn.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
168, 9, 5, 7, 15dihlsprn 37485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1710, 12, 16syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1817adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2859 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20 preq2 4501 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g𝑈)})
2120fveq2d 6450 . . . 4 (𝑌 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}))
22 dihprrn.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
235, 6, 7, 11, 22lsppr0 19487 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
2421, 23sylan9eqr 2836 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
258, 9, 5, 7, 15dihlsprn 37485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2610, 22, 25syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2726adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2824, 27eqeltrd 2859 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
2910adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3022adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝑉)
3112adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝑉)
32 simprl 761 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
33 simprr 763 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
348, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33dihprrnlem2 37579 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
3519, 28, 34pm2.61da2ne 3058 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  {csn 4398  {cpr 4400  ran crn 5356  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  0gc0g 16486  LSpanclspn 19366  HLchlt 35504  LHypclh 36138  DVecHcdvh 37232  DIsoHcdih 37382 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35107 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35130  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313  df-tgrp 36897  df-tendo 36909  df-edring 36911  df-dveca 37157  df-disoa 37183  df-dvech 37233  df-dib 37293  df-dic 37327  df-dih 37383  df-doch 37502  df-djh 37549 This theorem is referenced by:  djhlsmat  37581  lclkrlem2v  37682  lcfrlem23  37719
 Copyright terms: Public domain W3C validator