Theorem dihprrn 41422

Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihprrn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4682	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2		preq2 4684	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
3	1, 2	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
4	3	fveq2d 6820	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}))
5		dihprrn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
7		dihprrn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dihprrn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihprrn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihprrn.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	dvhlmod 41106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		dihprrn.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7, 11, 12	lsppr0 20980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
14	4, 13	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15		dihprrn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 41327	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
17	10, 12, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20		preq2 4684	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g‘𝑈)})
21	20	fveq2d 6820	. . . 4 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}))
22		dihprrn.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	5, 6, 7, 11, 22	lsppr0 20980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
24	21, 23	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
25	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 41327	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
26	10, 22, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
28	24, 27	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
29	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
31	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
33		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
34	8, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33	dihprrnlem2 41421	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
35	19, 28, 34	pm2.61da2ne 3013	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4573  {cpr 4575  ran crn 5614  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  0_gc0g 17330  LSpanclspn 20858  HLchlt 39346  LHypclh 39980  DVecHcdvh 41074  DIsoHcdih 41224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-riotaBAD 38949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-tpos 8150  df-undef 8197  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-0g 17332  df-proset 18187  df-poset 18206  df-plt 18221  df-lub 18237  df-glb 18238  df-join 18239  df-meet 18240  df-p0 18316  df-p1 18317  df-lat 18325  df-clat 18392  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-cntz 19183  df-lsm 19502  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-dvr 20273  df-drng 20600  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-lvec 20991  df-lsatoms 38972  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39494  df-lplanes 39495  df-lvols 39496  df-lines 39497  df-psubsp 39499  df-pmap 39500  df-padd 39792  df-lhyp 39984  df-laut 39985  df-ldil 40100  df-ltrn 40101  df-trl 40155  df-tgrp 40739  df-tendo 40751  df-edring 40753  df-dveca 40999  df-disoa 41025  df-dvech 41075  df-dib 41135  df-dic 41169  df-dih 41225  df-doch 41344  df-djh 41391

This theorem is referenced by:  djhlsmat  41423  lclkrlem2v  41524  lcfrlem23  41561