Theorem dihprrn 42623

Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihprrn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4692	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2		preq2 4694	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
3	1, 2	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
4	3	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}))
5		dihprrn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
7		dihprrn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dihprrn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihprrn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihprrn.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	dvhlmod 42307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		dihprrn.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7, 11, 12	lsppr0 21379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
14	4, 13	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15		dihprrn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 42528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
17	10, 12, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20		preq2 4694	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g‘𝑈)})
21	20	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}))
22		dihprrn.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	5, 6, 7, 11, 22	lsppr0 21379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
24	21, 23	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
25	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 42528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
26	10, 22, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
27	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
28	24, 27	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
29	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
31	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
33		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
34	8, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33	dihprrnlem2 42622	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
35	19, 28, 34	pm2.61da2ne 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  {csn 4587  {cpr 4589  ran crn 5655  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  LSpanclspn 21258  HLchlt 40547  LHypclh 41181  DVecHcdvh 42275  DIsoHcdih 42425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-undef 8301  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-0g 17624  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-lsm 19862  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-lsatoms 40173  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356  df-tgrp 41940  df-tendo 41952  df-edring 41954  df-dveca 42200  df-disoa 42226  df-dvech 42276  df-dib 42336  df-dic 42370  df-dih 42426  df-doch 42545  df-djh 42592

This theorem is used by:  djhlsmat  42624  lclkrlem2v  42725  lcfrlem23  42762