Theorem dihprrn 41625

Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihprrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihprrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihprrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihprrn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4687	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2		preq2 4689	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
3	1, 2	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
4	3	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}))
5		dihprrn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
7		dihprrn.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		dihprrn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		dihprrn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dihprrn.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	dvhlmod 41309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		dihprrn.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13	5, 6, 7, 11, 12	lsppr0 21042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
14	4, 13	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15		dihprrn.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 41530	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
17	10, 12, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20		preq2 4689	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g‘𝑈)})
21	20	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}))
22		dihprrn.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	5, 6, 7, 11, 22	lsppr0 21042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
24	21, 23	sylan9eqr 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
25	8, 9, 5, 7, 15	dihlsprn 41530	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
26	10, 22, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
28	24, 27	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
29	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
31	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
33		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
34	8, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33	dihprrnlem2 41624	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
35	19, 28, 34	pm2.61da2ne 3018	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {csn 4578  {cpr 4580  ran crn 5623  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  LSpanclspn 20920  HLchlt 39549  LHypclh 40183  DVecHcdvh 41277  DIsoHcdih 41427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-0g 17359  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lsatoms 39175  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-llines 39697  df-lplanes 39698  df-lvols 39699  df-lines 39700  df-psubsp 39702  df-pmap 39703  df-padd 39995  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358  df-tgrp 40942  df-tendo 40954  df-edring 40956  df-dveca 41202  df-disoa 41228  df-dvech 41278  df-dib 41338  df-dic 41372  df-dih 41428  df-doch 41547  df-djh 41594

This theorem is referenced by:  djhlsmat  41626  lclkrlem2v  41727  lcfrlem23  41764