Theorem dvh3dim 42253

Description: There is a vector that is outside the span of 2 others. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dim	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvh2dim 42252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
9		prcom 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
10		preq2 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
11	9, 10	eqtrid 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
12	11	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}))
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14	1, 2, 5	dvhlmod 41917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	3, 13, 4, 14, 6	lsppr0 21242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	12, 15	sylan9eqr 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
18	17	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
19	18	rexbidv 3191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
20	8, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	dvh2dim 42252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
24		preq2 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g‘𝑈)})
25	24	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}))
26	3, 13, 4, 14, 21	lsppr0 21242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
27	25, 26	sylan9eqr 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
28	27	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
29	28	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
30	29	rexbidv 3191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
31	23, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
32	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
36		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
37	1, 2, 3, 4, 32, 33, 34, 13, 35, 36	dvhdimlem 42251	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	20, 31, 37	pm2.61da2ne 3048	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  LSpanclspn 21121  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-0g 17511  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-lsatoms 39783  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202

This theorem is used by:  dvh4dimN  42254  dvh3dim2  42255  mapdh6iN  42551  mapdh8e  42591  mapdh9a  42596  mapdh9aOLDN  42597  hdmap1l6i  42625  hdmapval0  42640  hdmapval3N  42645  hdmap10lem  42646  hdmap11lem2  42649  hdmap14lem11  42685