Theorem dvh3dim 41485

Description: There is a vector that is outside the span of 2 others. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dim	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvh2dim 41484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
9		prcom 4680	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
10		preq2 4682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
11	9, 10	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g‘𝑈)})
12	11	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}))
13		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14	1, 2, 5	dvhlmod 41149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	3, 13, 4, 14, 6	lsppr0 21021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	12, 15	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
18	17	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
19	18	rexbidv 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
20	8, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	dvh2dim 41484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
24		preq2 4682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g‘𝑈)})
25	24	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}))
26	3, 13, 4, 14, 21	lsppr0 21021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g‘𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
27	25, 26	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
28	27	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
29	28	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
30	29	rexbidv 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
31	23, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
32	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ∈ 𝑉)
35		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
36		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))
37	1, 2, 3, 4, 32, 33, 34, 13, 35, 36	dvhdimlem 41483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑈))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	20, 31, 37	pm2.61da2ne 3016	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {csn 4571  {cpr 4573  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  LSpanclspn 20899  HLchlt 39389  LHypclh 40023  DVecHcdvh 41117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-0g 17340  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19224  df-lsm 19543  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lvec 21032  df-lsatoms 39015  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198  df-tgrp 40782  df-tendo 40794  df-edring 40796  df-dveca 41042  df-disoa 41068  df-dvech 41118  df-dib 41178  df-dic 41212  df-dih 41268  df-doch 41387  df-djh 41434

This theorem is referenced by:  dvh4dimN  41486  dvh3dim2  41487  mapdh6iN  41783  mapdh8e  41823  mapdh9a  41828  mapdh9aOLDN  41829  hdmap1l6i  41857  hdmapval0  41872  hdmapval3N  41877  hdmap10lem  41878  hdmap11lem2  41881  hdmap14lem11  41917