Theorem m1modne 47975

Description: A nonnegative integer is not itself minus 1 modulo an integer greater than 1 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem m1modne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12908	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		1zzd 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
8	3	zcnd 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		1cnd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	nncand 11570	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
12		1le1 11838	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 1
13		breq2 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ↔ 1 ≤ 1))
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ↔ 1 ≤ 1))
15	12, 14	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → 1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)))
16		eluz2gt1 12940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 1 < 𝑁)
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → 1 < 𝑁)
19		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1 → ((𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁 ↔ 1 < 𝑁))
20	19	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁 ↔ 1 < 𝑁))
21	18, 20	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁)
22	15, 21	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁))
23	11, 22	mpdan 699	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁))
24		difltmodne 47969	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 7, 23, 24	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 3019	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))
27		zmodidfzoimp 13930	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = 𝐴)
28	27	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 𝐴)
29	26, 28	neeqtrd 3033	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03starlem3  48719