Theorem m1modne 47802

Description: A nonnegative integer is not itself minus 1 modulo an integer greater than 1 and the nonnegative integer. (Contributed by AV, 6-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
m1modne	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem m1modne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12838	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13613	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		1zzd 12558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ))
8	3	zcnd 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	nncand 11510	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1)
12		1le1 11778	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 1
13		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ↔ 1 ≤ 1))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ↔ 1 ≤ 1))
15	12, 14	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → 1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)))
16		eluz2gt1 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → 1 < 𝑁)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → 1 < 𝑁)
19		breq1 5088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1 → ((𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁 ↔ 1 < 𝑁))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁 ↔ 1 < 𝑁))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁)
22	15, 21	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) = 1) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁))
23	11, 22	mpdan 688	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁))
24		difltmodne 47796	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 1)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 1)) < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
25	2, 7, 23, 24	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≠ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
26	25	necomd 2987	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ (𝐴 mod 𝑁))
27		zmodidfzoimp 13860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = 𝐴)
28	27	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 𝐴)
29	26, 28	neeqtrd 3001	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608   mod cmo 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03starlem3  48546