Theorem gpg5nbgrvtx03starlem3 48835

Description: Lemma 3 for gpg5nbgrvtx03star 48845. (Contributed by AV, 5-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx03starlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5445	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V
2		opex 5445	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5445	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5445	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ≠ 0)
10	9	orcd 886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
11		1ex 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 1 ∈ V)
13		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑊)
14	12, 13	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
16		opthneg 5463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
18	10, 17	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
19	8	orci 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
21		opthneg 5463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
22	15, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
24	18, 23	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
25	24	orcd 886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
26		prneimg 4819	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
27	7, 25, 26	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
28		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
30		uzuzle23 12903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
31	30	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
32		m1modne 48091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
33	31, 32	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
34	33	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
36	29, 35	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
37	36	impr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
38		neeq2 3021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
40	37, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
41	40	orcd 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
42	41	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
43		olc 881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
44	43	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
45	42, 44	pm2.61ine 3041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
46		c0ex 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ∈ V
48	46, 47	opthne 5464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
49		neirr 2967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
50	49	biorfi 951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
51	48, 50	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
53		opthneg 5463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
54	15, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
55		neirr 2967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
56	55	biorfi 951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
57	54, 56	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
58	52, 57	orbi12d 931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
59	45, 58	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
60	18	olcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
61	59, 60	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
62	2, 1	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V)
63		opex 5445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
64	4, 63	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
65	62, 64	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
66		prneimg2 4820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
67	65, 66	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
68	61, 67	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
69		prcom 4698	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩}
70	69	neeq1i 3022	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
71	68, 70	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
72		opex 5445	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
73	63, 72	pm3.2i 475	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
74	3, 73	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
75		0ne1 12307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
76	75	orci 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
77	46, 47	opthne 5464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
78	76, 77	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
79	75	orci 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
80	46, 47	opthne 5464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
81	79, 80	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩
82	78, 81	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
84	83	olcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
85		prneimg 4819	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
86	74, 84, 85	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
87	27, 71, 86	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
88	87	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
89		ralnex 3091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
90		3ioran 1123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
91		df-ne 2959	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
92		df-ne 2959	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
93		df-ne 2959	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
94	91, 92, 93	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
95	90, 94	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
96	95	ralbii 3111	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
97	89, 96	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
98	88, 97	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
99		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
100		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
101		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
102		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
103	99, 100, 101, 102	gpgedgel 48815	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
104	103	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
105	98, 104	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
106		df-nel 3065	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
107	105, 106	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436   / cdiv 11866  2c2 12290  3c3 12291  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678  ⌈cceil 13820   mod cmo 13898  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397   gPetersenGr cgpg 48805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-hash 14363  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-edgf 29339  df-iedg 29349  df-edg 29398  df-gpg 48806

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03star  48845