Theorem gpg5nbgrvtx03starlem3 48101

Description: Lemma 3 for gpg5nbgrvtx03star 48111. (Contributed by AV, 5-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem1.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpg5nbgrvtx03starlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg5nbgrvtx03starlem1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpg5nbgrvtx03starlem1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpg5nbgrvtx03starlem3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Proof of Theorem gpg5nbgrvtx03starlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V
2		opex 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
4		opex 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
5		opex 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
8		ax-1ne0 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ≠ 0)
10	9	orcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
11		1ex 11103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 1 ∈ V)
13		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑊)
14	12, 13	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊))
16		opthneg 5416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
18	10, 17	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
19	8	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
21		opthneg 5416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 𝑋 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
23	20, 22	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
24	18, 23	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩))
25	24	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)))
26		prneimg 4801	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
27	7, 25, 26	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
28		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
30		uzuzle23 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
32		m1modne 47379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
33	31, 32	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
36	29, 35	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
37	36	impr 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
38		neeq2 2991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
40	37, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
41	40	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 = 𝑥 ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
43		olc 868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
44	43	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
45	42, 44	pm2.61ine 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
46		c0ex 11101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
47		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ∈ V
48	46, 47	opthne 5417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
49		neirr 2937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 0 ≠ 0
50	49	biorfi 938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ↔ (0 ≠ 0 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
51	48, 50	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
53		opthneg 5416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
54	15, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
55		neirr 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
56	55	biorfi 938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥))
57	54, 56	bitr4di 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
58	52, 57	orbi12d 918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥 ∨ 𝑋 ≠ 𝑥)))
59	45, 58	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
60	18	olcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
61	59, 60	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)))
62	2, 1	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V)
63		opex 5399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
64	4, 63	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
65	62, 64	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
66		prneimg2 4802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
68	61, 67	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
69		prcom 4680	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩}
70	69	neeq1i 2992	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ {⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
71	68, 70	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
72		opex 5399	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
73	63, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)
74	3, 73	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V))
75		0ne1 12191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
76	75	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
77	46, 47	opthne 5417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥))
78	76, 77	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩
79	75	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
80	46, 47	opthne 5417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ ((𝑋 − 1) mod 𝑁) ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
81	79, 80	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩
82	78, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
84	83	olcd 874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
85		prneimg 4801	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 𝑋⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩) ∨ (⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∧ ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
86	74, 84, 85	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
87	27, 71, 86	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
88	87	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
89		ralnex 3058	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
90		3ioran 1105	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
91		df-ne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩})
92		df-ne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
93		df-ne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
94	91, 92, 93	3anbi123i 1155	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
95	90, 94	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
96	95	ralbii 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁) ¬ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
97	89, 96	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
98	88, 97	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
99		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
100		gpg5nbgrvtx03starlem1.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
101		gpg5nbgrvtx03starlem1.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
102		gpg5nbgrvtx03starlem1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
103	99, 100, 101, 102	gpgedgel 48081	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
104	103	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
105	98, 104	mtbird 325	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
106		df-nel 3033	. 2 ⊢ ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
107	105, 106	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨0, ((𝑋 − 1) mod 𝑁)⟩} ∉ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∉ wnel 3032  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  {cpr 4573  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  3c3 12176  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  ⌈cceil 13690   mod cmo 13768  Vtxcvtx 28969  Edgcedg 29020   gPetersenGr cgpg 48071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-hash 14233  df-dvds 16159  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-edgf 28962  df-iedg 28972  df-edg 29021  df-gpg 48072

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx03star  48111