Theorem minusmod5ne 47803

Description: A nonnegative integer is not itself minus a positive integer less than 5 modulo 5. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmod5ne	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem minusmod5ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12267	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 5 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13613	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
8	3	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	5	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		nncan 11423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
11	8, 9, 10	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
12		elfzo1 13667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5))
13		nnge1 12205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
14	13	anim1i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
15	14	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
16	12, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
18		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5 ↔ 𝐾 < 5))
20	18, 19	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5)))
21	17, 20	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)))
22	11, 21	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5))
23		difltmodne 47796	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
24	2, 4, 7, 22, 23	syl121anc 1378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
25	24	necomd 2987	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ (𝐴 mod 5))
26		zmodidfzoimp 13860	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
28	25, 27	neeqtrd 3001	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  5c5 12239  ℤcz 12524  ..^cfzo 13608   mod cmo 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem3  48549