Theorem minusmod5ne 48394

Description: A nonnegative integer is not itself minus a positive integer less than 5 modulo 5. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmod5ne	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem minusmod5ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12422	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 5 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13786	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
8	3	zcnd 12797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	5	zcnd 12797	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		nncan 11580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
12		elfzo1 13840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5))
13		nnge1 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
14	13	anim1i 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
15	14	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
16	12, 15	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
18		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5 ↔ 𝐾 < 5))
20	18, 19	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5)))
21	17, 20	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)))
22	11, 21	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5))
23		difltmodne 48387	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
24	2, 4, 7, 22, 23	syl121anc 1402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
25	24	necomd 3011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ (𝐴 mod 5))
26		zmodidfzoimp 14034	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
27	26	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
28	25, 27	neeqtrd 3025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  5c5 12393  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781   mod cmo 14002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-dvds 16416

This theorem is used by:  gpg5nbgrvtx13starlem3  49140