Theorem minusmod5ne 47380

Description: A nonnegative integer is not itself minus a positive integer less than 5 modulo 5. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmod5ne	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem minusmod5ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12206	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 5 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13554	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13554	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12577	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
8	3	zcnd 12573	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	5	zcnd 12573	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		nncan 11385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
12		elfzo1 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5))
13		nnge1 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
15	14	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
16	12, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
18		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5 ↔ 𝐾 < 5))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5)))
21	17, 20	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)))
22	11, 21	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5))
23		difltmodne 47373	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
24	2, 4, 7, 22, 23	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
25	24	necomd 2983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ (𝐴 mod 5))
26		zmodidfzoimp 13800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
28	25, 27	neeqtrd 2997	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕcn 12120  5c5 12178  ℤcz 12463  ..^cfzo 13549   mod cmo 13768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-dvds 16159

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem3  48104