Theorem minusmod5ne 47511

Description: A nonnegative integer is not itself minus a positive integer less than 5 modulo 5. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmod5ne	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem minusmod5ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12222	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 5 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13566	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
8	3	zcnd 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	5	zcnd 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		nncan 11401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
12		elfzo1 13619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5))
13		nnge1 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
15	14	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
16	12, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
18		breq2 5099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5 ↔ 𝐾 < 5))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5)))
21	17, 20	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)))
22	11, 21	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5))
23		difltmodne 47504	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
24	2, 4, 7, 22, 23	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
25	24	necomd 2984	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ (𝐴 mod 5))
26		zmodidfzoimp 13812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
28	25, 27	neeqtrd 2998	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕcn 12136  5c5 12194  ℤcz 12479  ..^cfzo 13561   mod cmo 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-dvds 16171

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem3  48235