Theorem minusmod5ne 47340

Description: A nonnegative integer is not itself minus a positive integer less than 5 modulo 5. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
minusmod5ne	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem minusmod5ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12273	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 5 ∈ ℕ)
3		elfzoelz 13626	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13626	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
8	3	zcnd 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	5	zcnd 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → 𝐾 ∈ ℂ)
10		nncan 11457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾)
12		elfzo1 13679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5))
13		nnge1 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
15	14	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
16	12, 15	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^5) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5))
18		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ↔ 1 ≤ 𝐾))
19		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5 ↔ 𝐾 < 5))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → ((1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5) ↔ (1 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 5)))
21	17, 20	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) = 𝐾 → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)))
22	11, 21	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5))
23		difltmodne 47333	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) ∧ (𝐴 − (𝐴 − 𝐾)) < 5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
24	2, 4, 7, 22, 23	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) ≠ ((𝐴 − 𝐾) mod 5))
25	24	necomd 2981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ (𝐴 mod 5))
26		zmodidfzoimp 13869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^5) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → (𝐴 mod 5) = 𝐴)
28	25, 27	neeqtrd 2995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^5) ∧ 𝐾 ∈ (1..^5)) → ((𝐴 − 𝐾) mod 5) ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411  ℕcn 12187  5c5 12245  ℤcz 12535  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem3  48054