Theorem mndtcid 47970

Description: The identity morphism, or identity arrow, of the category built from a monoid is the identity element of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtcid.i	⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcid.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))
2		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtccatid 47968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀))))
5	4	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
6	1, 5	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
7		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀))
8		mndtcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		mndtcid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
10	8, 9	eleqtrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11		fvexd 6899	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ V)
12	6, 7, 10, 11	fvmptd 6998	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  Catccat 17615  Idccid 17616  Mndcmnd 18665  MndToCatcmndtc 47958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-cat 17619  df-cid 17620  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mndtc 47959

This theorem is referenced by: (None)