Theorem mndtcid 48152

Description: The identity morphism, or identity arrow, of the category built from a monoid is the identity element of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtcid.i	⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcid.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))
2		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtccatid 48150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀))))
5	4	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
6	1, 5	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
7		eqidd 2728	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀))
8		mndtcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		mndtcid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
10	8, 9	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11		fvexd 6915	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ V)
12	6, 7, 10, 11	fvmptd 7015	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ↦ cmpt 5233  ‘cfv 6551  Basecbs 17185  0_gc0g 17426  Catccat 17649  Idccid 17650  Mndcmnd 18699  MndToCatcmndtc 48140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-cat 17653  df-cid 17654  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mndtc 48141

This theorem is referenced by: (None)