Theorem mndtcid 48287

Description: The identity morphism, or identity arrow, of the category built from a monoid is the identity element of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtcid.i	⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcid.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))
2		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtccatid 48285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀))))
5	4	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
6	1, 5	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
7		eqidd 2726	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀))
8		mndtcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		mndtcid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
10	8, 9	eleqtrd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11		fvexd 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ V)
12	6, 7, 10, 11	fvmptd 7011	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  Catccat 17647  Idccid 17648  Mndcmnd 18697  MndToCatcmndtc 48275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-cat 17651  df-cid 17652  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mndtc 48276

This theorem is referenced by: (None)