Theorem mndtcid 50399

Description: The identity morphism, or identity arrow, of the category built from a monoid is the identity element of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtcid.i	⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcid.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘𝐶))
2		mndtccat.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtccatid 50397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀))))
5	4	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
6	1, 5	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ (0g‘𝑀)))
7		eqidd 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀))
8		mndtcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		mndtcid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
10	8, 9	eleqtrd 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
11		fvexd 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑀) ∈ V)
12	6, 7, 10, 11	fvmptd 7001	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5195  ‘cfv 6540  Basecbs 17279  0_gc0g 17502  Catccat 17730  Idccid 17731  Mndcmnd 18802  MndToCatcmndtc 50387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-hom 17344  df-cco 17345  df-0g 17504  df-cat 17734  df-cid 17735  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-mndtc 50388

This theorem is used by:  oppgoppcid  50402