Theorem ragncol 28799

Description: Right angle implies non-colinearity. A consequence of theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragncol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragncol.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ragncol.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ragncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ragncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ragncol.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		ragncol.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
4	3	neneqd 2938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
5		ioran 986	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
6	2, 4, 5	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
7		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		ragncol.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	ragflat3 28796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
24	6, 23	mtand 816	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ⟨“cs3 14779  Basecbs 17150  distcds 17200  TarskiGcstrkg 28516  Itvcitv 28522  LineGclng 28523  pInvGcmir 28742  ∟Gcrag 28783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-concat 14508  df-s1 14534  df-s2 14785  df-s3 14786  df-trkgc 28537  df-trkgb 28538  df-trkgcb 28539  df-trkg 28542  df-cgrg 28601  df-mir 28743  df-rag 28784

This theorem is referenced by:  perpneq  28804