Theorem ragncol 29211

Description: Right angle implies non-colinearity. A consequence of theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragncol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragncol.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ragncol.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ragncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ragncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ragncol.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		ragncol.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
4	3	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
5		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
6	2, 4, 5	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
7		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		ragncol.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	ragflat3 29208	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
24	6, 23	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ⟨“cs3 15018  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  LineGclng 28923  pInvGcmir 29151  ∟Gcrag 29195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-mir 29152  df-rag 29196

This theorem is used by:  perpneq  29216  ragcgra  29370  ragraghl  29373