Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragncol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ragncol 26603
 Description: Right angle implies non-colinearity. A consequence of theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d = (dist‘𝐺)
israg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a (𝜑𝐴𝑃)
israg.b (𝜑𝐵𝑃)
israg.c (𝜑𝐶𝑃)
ragncol.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragncol.2 (𝜑𝐴𝐵)
ragncol.3 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
ragncol (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ragncol
StepHypRef Expression
1 ragncol.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
21neneqd 2957 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3 ragncol.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
43neneqd 2957 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
5 ioran 982 . . 3 (¬ (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
62, 4, 5sylanbrc 587 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
7 israg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 israg.d . . 3 = (dist‘𝐺)
9 israg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10 israg.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 israg.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12 israg.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1312adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14 israg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1514adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴𝑃)
16 israg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1716adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵𝑃)
18 israg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1918adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶𝑃)
20 ragncol.1 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
2120adantr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22 simpr 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
237, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22ragflat3 26600 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵))
246, 23mtand 816 1 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ⟨“cs3 14252  Basecbs 16542  distcds 16633  TarskiGcstrkg 26324  Itvcitv 26330  LineGclng 26331  pInvGcmir 26546  ∟Gcrag 26587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9364  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-xnn0 12008  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742  df-word 13915  df-concat 13971  df-s1 13998  df-s2 14258  df-s3 14259  df-trkgc 26342  df-trkgb 26343  df-trkgcb 26344  df-trkg 26347  df-cgrg 26405  df-mir 26547  df-rag 26588 This theorem is referenced by:  perpneq  26608
 Copyright terms: Public domain W3C validator