Theorem ragncol 29103

Description: Right angle implies non-colinearity. A consequence of theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragncol.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragncol.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
ragncol.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ragncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ragncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ragncol.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2	1	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
3		ragncol.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
4	3	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
5		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐵))
6	2, 4, 5	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
7		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
12		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		ragncol.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	ragflat3 29100	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐵))
24	6, 23	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ⟨“cs3 14946  Basecbs 17334  distcds 17384  TarskiGcstrkg 28808  Itvcitv 28814  LineGclng 28815  pInvGcmir 29043  ∟Gcrag 29087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-hash 14428  df-word 14612  df-concat 14669  df-s1 14696  df-s2 14952  df-s3 14953  df-trkgc 28829  df-trkgb 28830  df-trkgcb 28831  df-trkg 28834  df-cgrg 28893  df-mir 29044  df-rag 29088

This theorem is used by:  perpneq  29108  ragcgra  29262  ragraghl  29265