MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1expd 20480
Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1expd (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 19283 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 evl1addd.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 20388 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6 eqid 2820 . . . . 5 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
76ringmgp 19278 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
83, 5, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9 evl1expd.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1110simpld 497 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
12 evl1addd.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
136, 12mgpbas 19220 . . . 4 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14 evl1expd.f . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
1513, 14mulgnn0cl 18219 . . 3 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
168, 9, 11, 15syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
17 evl1addd.q . . . . . . . . 9 𝑂 = (eval1𝑅)
18 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
19 evl1addd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
2017, 4, 18, 19evl1rhm 20467 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
211, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
22 eqid 2820 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(𝑅s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
236, 22rhmmhm 19449 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2421, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
25 eqid 2820 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
2613, 14, 25mhmmulg 18243 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
2724, 9, 11, 26syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
28 eqid 2820 . . . . . . 7 (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
29 eqidd 2821 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
3019fvexi 6656 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
31 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
33 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
34 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
35 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
36 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
3718, 31, 32, 22, 33, 34, 35, 36pwsmgp 19343 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
381, 30, 37sylancl 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
3938simpld 497 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
40 ssv 3966 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V)
42 ovexd 7164 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
4338simprd 498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4443oveqdr 7157 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
4525, 28, 29, 39, 41, 42, 44mulgpropd 18244 . . . . . 6 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4645oveqd 7146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4727, 46eqtrd 2855 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4847fveq1d 6644 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌))
4931ringmgp 19278 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
503, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5130a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
52 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
5312, 52rhmf 19453 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5421, 53syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5554, 11ffvelrnd 6824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
5622, 52mgpbas 19220 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5756, 39syl5eq 2867 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5855, 57eleqtrd 2913 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
59 evl1addd.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
60 evl1expd.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
6132, 34, 28, 60pwsmulg 18247 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6250, 51, 9, 58, 59, 61syl23anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6310simprd 498 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
6463oveq2d 7145 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 𝑉))
6562, 64eqtrd 2855 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6648, 65eqtrd 2855 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6716, 66jca 514 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3470  wss 3909  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  0cn0 11872  Basecbs 16458  +gcplusg 16540  s cpws 16695  Mndcmnd 17886   MndHom cmhm 17929  .gcmg 18199  mulGrpcmgp 19214  Ringcrg 19272  CRingccrg 19273   RingHom crh 19439  Poly1cpl1 20317  eval1ce1 20449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-ofr 7384  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-sup 8880  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-hash 13672  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-hom 16564  df-cco 16565  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-prds 16696  df-pws 16698  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mhm 17931  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-mulg 18200  df-subg 18251  df-ghm 18331  df-cntz 18422  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-srg 19231  df-ring 19274  df-cring 19275  df-rnghom 19442  df-subrg 19505  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-assa 20057  df-asp 20058  df-ascl 20059  df-psr 20108  df-mvr 20109  df-mpl 20110  df-opsr 20112  df-evls 20258  df-evl 20259  df-psr1 20320  df-ply1 20322  df-evl1 20451
This theorem is referenced by:  evl1varpwval  20497  plypf1  24784  lgsqrlem1  25905  idomrootle  39928
  Copyright terms: Public domain W3C validator