Theorem evl1expd 22349

Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 20142	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4		evl1expd.f	. . 3 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		crngring 20242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		evl1addd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 22249	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1	ringmgp 20236	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
12		evl1expd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
14	13	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
15	3, 4, 11, 12, 14	mulgnn0cld 19113	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
16		evl1addd.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
18		evl1addd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	16, 8, 17, 18	evl1rhm 22336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	1, 21	rhmmhm 20479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
23	20, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	3, 4, 24	mhmmulg 19133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
26	23, 12, 14, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
28		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
29	18	fvexi 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
30		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
36	17, 30, 31, 21, 32, 33, 34, 35	pwsmgp 20324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
37	5, 29, 36	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
38	37	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
39		ssv 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V)
41		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
42	37	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
43	42	oveqdr 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
44	24, 27, 28, 38, 40, 41, 43	mulgpropd 19134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
45	44	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
46	26, 45	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
47	46	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌))
48	30	ringmgp 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
49	7, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
50	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
52	2, 51	rhmf 20485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
53	20, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
54	53, 14	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
55	21, 51	mgpbas 20142	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	55, 38	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
57	54, 56	eleqtrd 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58		evl1addd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
59		evl1expd.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
60	31, 33, 27, 59	pwsmulg 19137	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
61	49, 50, 12, 57, 58, 60	syl23anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
62	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
63	62	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
64	61, 63	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
65	47, 64	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
66	15, 65	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   ↑_s cpws 17491  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  Poly₁cpl1 22178  eval₁ce1 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evl1 22320

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  22366  idomrootle  26212  plypf1  26251  lgsqrlem1  27390  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c2lem4  42128  aks6d1c5lem2  42139  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190