MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1expd 21727
Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1expd (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
31, 2mgpbas 19909 . . 3 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4 evl1expd.f . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 19983 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 evl1addd.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
98ply1ring 21635 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
101ringmgp 19977 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
117, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
12 evl1expd.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1413simpld 496 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
153, 4, 11, 12, 14mulgnn0cld 18904 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
16 evl1addd.q . . . . . . . . 9 𝑂 = (eval1𝑅)
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
18 evl1addd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
1916, 8, 17, 18evl1rhm 21714 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
205, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(𝑅s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
221, 21rhmmhm 20162 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2320, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
253, 4, 24mhmmulg 18924 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
2623, 12, 14, 25syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
27 eqid 2737 . . . . . . 7 (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
28 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2918fvexi 6861 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
30 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
33 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
35 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
3617, 30, 31, 21, 32, 33, 34, 35pwsmgp 20049 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
375, 29, 36sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
3837simpld 496 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
39 ssv 3973 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V)
41 ovexd 7397 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
4237simprd 497 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4342oveqdr 7390 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
4424, 27, 28, 38, 40, 41, 43mulgpropd 18925 . . . . . 6 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4544oveqd 7379 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4626, 45eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4746fveq1d 6849 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌))
4830ringmgp 19977 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
497, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5029a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
51 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
522, 51rhmf 20167 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5320, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5453, 14ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
5521, 51mgpbas 19909 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5655, 38eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5754, 56eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58 evl1addd.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
59 evl1expd.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
6031, 33, 27, 59pwsmulg 18928 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6149, 50, 12, 57, 58, 60syl23anc 1378 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6213simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
6362oveq2d 7378 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 𝑉))
6461, 63eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6547, 64eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6615, 65jca 513 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  wss 3915  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cn0 12420  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  s cpws 17335  Mndcmnd 18563   MndHom cmhm 18606  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972   RingHom crh 20152  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  evl1varpwval  21744  plypf1  25589  lgsqrlem1  26710  idomrootle  41551
  Copyright terms: Public domain W3C validator