Theorem evl1expd 22269

Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2		evl1addd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 20085	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4		evl1expd.f	. . 3 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		crngring 20190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		evl1addd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 22171	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1	ringmgp 20184	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
12		evl1expd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
14	13	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
15	3, 4, 11, 12, 14	mulgnn0cld 19055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
16		evl1addd.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
17		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
18		evl1addd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	16, 8, 17, 18	evl1rhm 22256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
20	5, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
22	1, 21	rhmmhm 20423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
23	20, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
24		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
25	3, 4, 24	mhmmulg 19075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
26	23, 12, 14, 25	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
27		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
28		eqidd 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
29	18	fvexi 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
30		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
31		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
32		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
33		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
34		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
35		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
36	17, 30, 31, 21, 32, 33, 34, 35	pwsmgp 20268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
37	5, 29, 36	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
38	37	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
39		ssv 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V)
41		ovexd 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
42	37	simprd 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
43	42	oveqdr 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
44	24, 27, 28, 38, 40, 41, 43	mulgpropd 19076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
45	44	oveqd 7441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
46	26, 45	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
47	46	fveq1d 6902	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌))
48	30	ringmgp 20184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
49	7, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
50	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
52	2, 51	rhmf 20429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
53	20, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
54	53, 14	ffvelcdmd 7098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
55	21, 51	mgpbas 20085	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	55, 38	eqtrid 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
57	54, 56	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58		evl1addd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
59		evl1expd.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
60	31, 33, 27, 59	pwsmulg 19079	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
61	49, 50, 12, 57, 58, 60	syl23anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
62	13	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
63	62	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
64	61, 63	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
65	47, 64	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
66	15, 65	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℕ₀cn0 12508  Basecbs 17185  +_gcplusg 17238   ↑_s cpws 17433  Mndcmnd 18699   MndHom cmhm 18743  ._gcmg 19028  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   RingHom crh 20413  Poly₁cpl1 22101  eval₁ce1 22238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-evls 22023  df-evl 22024  df-psr1 22104  df-ply1 22106  df-evl1 22240

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  22286  idomrootle  26125  plypf1  26164  lgsqrlem1  27297  aks6d1c1p2  41584  aks6d1c2lem4  41602  aks6d1c5lem2  41613