Theorem evl1expd 21421

Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		evl1addd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 21329	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7	6	ringmgp 19704	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8	3, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9		evl1expd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
13	6, 12	mgpbas 19641	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14		evl1expd.f	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15	13, 14	mulgnn0cl 18635	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
16	8, 9, 11, 15	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
17		evl1addd.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
19		evl1addd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20	17, 4, 18, 19	evl1rhm 21408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	1, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
23	6, 22	rhmmhm 19881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	13, 14, 25	mhmmulg 18659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
27	24, 9, 11, 26	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
29		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
30	19	fvexi 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
34		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
36		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
37	18, 31, 32, 22, 33, 34, 35, 36	pwsmgp 19772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
38	1, 30, 37	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
39	38	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
40		ssv 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V)
42		ovexd 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
43	38	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
44	43	oveqdr 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
45	25, 28, 29, 39, 41, 42, 44	mulgpropd 18660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
46	45	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
47	27, 46	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
48	47	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌))
49	31	ringmgp 19704	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
50	3, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
51	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
52		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
53	12, 52	rhmf 19885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
55	54, 11	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	22, 52	mgpbas 19641	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56, 39	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58	55, 57	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
59		evl1addd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
60		evl1expd.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
61	32, 34, 28, 60	pwsmulg 18663	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
62	50, 51, 9, 58, 59, 61	syl23anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
63	10	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
64	63	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
65	62, 64	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
66	48, 65	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
67	16, 66	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   ↑_s cpws 17074  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  Poly₁cpl1 21258  eval₁ce1 21390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-evl 21193  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evl1 21392

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  21438  plypf1  25278  lgsqrlem1  26399  idomrootle  40936