MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1expd 22283
Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1expd (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
31, 2mgpbas 20094 . . 3 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4 evl1expd.f . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 20199 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 evl1addd.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
98ply1ring 22185 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
101ringmgp 20193 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
117, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
12 evl1expd.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1413simpld 493 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
153, 4, 11, 12, 14mulgnn0cld 19064 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
16 evl1addd.q . . . . . . . . 9 𝑂 = (eval1𝑅)
17 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
18 evl1addd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
1916, 8, 17, 18evl1rhm 22270 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
205, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
21 eqid 2728 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(𝑅s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
221, 21rhmmhm 20432 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2320, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
253, 4, 24mhmmulg 19084 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
2623, 12, 14, 25syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
27 eqid 2728 . . . . . . 7 (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
28 eqidd 2729 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2918fvexi 6916 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
31 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
32 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
33 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
34 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
35 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
3617, 30, 31, 21, 32, 33, 34, 35pwsmgp 20277 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
375, 29, 36sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
3837simpld 493 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
39 ssv 4006 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V)
41 ovexd 7461 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
4237simprd 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4342oveqdr 7454 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
4424, 27, 28, 38, 40, 41, 43mulgpropd 19085 . . . . . 6 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4544oveqd 7443 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4626, 45eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4746fveq1d 6904 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌))
4830ringmgp 20193 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
497, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5029a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
51 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
522, 51rhmf 20438 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5320, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5453, 14ffvelcdmd 7100 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
5521, 51mgpbas 20094 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5655, 38eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5754, 56eleqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58 evl1addd.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
59 evl1expd.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
6031, 33, 27, 59pwsmulg 19088 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6149, 50, 12, 57, 58, 60syl23anc 1374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6213simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
6362oveq2d 7442 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 𝑉))
6461, 63eqtrd 2768 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6547, 64eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6615, 65jca 510 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cn0 12512  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  s cpws 17437  Mndcmnd 18703   MndHom cmhm 18747  .gcmg 19037  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  Poly1cpl1 22114  eval1ce1 22252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22035  df-evl 22036  df-psr1 22117  df-ply1 22119  df-evl1 22254
This theorem is referenced by:  evl1varpwval  22300  idomrootle  26135  plypf1  26174  lgsqrlem1  27307  aks6d1c1p2  41620  aks6d1c2lem4  41638  aks6d1c5lem2  41649
  Copyright terms: Public domain W3C validator