Theorem evl1expd 20508

Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f	⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1expd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 19308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		evl1addd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 20416	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7	6	ringmgp 19303	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
8	3, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
9		evl1expd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		evl1addd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11	10	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
12		evl1addd.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
13	6, 12	mgpbas 19245	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
14		evl1expd.f	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15	13, 14	mulgnn0cl 18244	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
16	8, 9, 11, 15	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈)
17		evl1addd.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
19		evl1addd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
20	17, 4, 18, 19	evl1rhm 20495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
21	1, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
22		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
23	6, 22	rhmmhm 19474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
25		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
26	13, 14, 25	mhmmulg 18268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
27	24, 9, 11, 26	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)))
28		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
29		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
30	19	fvexi 6684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
32		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
33		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
34		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
35		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
36		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
37	18, 31, 32, 22, 33, 34, 35, 36	pwsmgp 19368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
38	1, 30, 37	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
39	38	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
40		ssv 3991	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) ⊆ V)
42		ovexd 7191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
43	38	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
44	43	oveqdr 7184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
45	25, 28, 29, 39, 41, 42, 44	mulgpropd 18269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
46	45	oveqd 7173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑂‘𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
47	27, 46	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀)))
48	47	fveq1d 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌))
49	31	ringmgp 19303	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
50	3, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
51	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
52		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
53	12, 52	rhmf 19478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
55	54, 11	ffvelrnd 6852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	22, 52	mgpbas 19245	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56, 39	syl5eq 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58	55, 57	eleqtrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
59		evl1addd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
60		evl1expd.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
61	32, 34, 28, 60	pwsmulg 18272	. . . . 5 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
62	50, 51, 9, 58, 59, 61	syl23anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
63	10	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
64	63	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 ↑ 𝑉))
65	62, 64	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂‘𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
66	48, 65	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉))
67	16, 66	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ↑ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ⊆ wss 3936  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565   ↑_s cpws 16720  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  ._gcmg 18224  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298   RingHom crh 19464  Poly₁cpl1 20345  eval₁ce1 20477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19467  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-evls 20286  df-evl 20287  df-psr1 20348  df-ply1 20350  df-evl1 20479

This theorem is referenced by:  evl1varpwval  20525  plypf1  24802  lgsqrlem1  25922  idomrootle  39815