MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1expd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1expd 22365
Description: Polynomial evaluation builder for an exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1expd.f = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
evl1expd.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1expd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1expd (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))

Proof of Theorem evl1expd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
2 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
31, 2mgpbas 20158 . . 3 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
4 evl1expd.f . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5 evl1addd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 20263 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 evl1addd.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
98ply1ring 22265 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
101ringmgp 20257 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
117, 9, 103syl 18 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
12 evl1expd.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1413simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
153, 4, 11, 12, 14mulgnn0cld 19126 . 2 (𝜑 → (𝑁 𝑀) ∈ 𝑈)
16 evl1addd.q . . . . . . . . 9 𝑂 = (eval1𝑅)
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
18 evl1addd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
1916, 8, 17, 18evl1rhm 22352 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
205, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
21 eqid 2735 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(𝑅s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
221, 21rhmmhm 20496 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2320, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
24 eqid 2735 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
253, 4, 24mhmmulg 19146 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ ((mulGrp‘𝑃) MndHom (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑈) → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
2623, 12, 14, 25syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)))
27 eqid 2735 . . . . . . 7 (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
28 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
2918fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
30 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵) = ((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)
32 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
33 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
34 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
35 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))
3617, 30, 31, 21, 32, 33, 34, 35pwsmgp 20341 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ V) → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
375, 29, 36sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))))
3837simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
39 ssv 4020 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) ⊆ V)
41 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) ∈ V)
4237simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4342oveqdr 7459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))𝑦) = (𝑥(+g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))𝑦))
4424, 27, 28, 38, 40, 41, 43mulgpropd 19147 . . . . . 6 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = (.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
4544oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑂𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4626, 45eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁 𝑀)) = (𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀)))
4746fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌))
4830ringmgp 20257 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
497, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
5029a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
51 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
522, 51rhmf 20502 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5320, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
5453, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
5521, 51mgpbas 20158 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5655, 38eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
5754, 56eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)))
58 evl1addd.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
59 evl1expd.e . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
6031, 33, 27, 59pwsmulg 19150 . . . . 5 ((((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝑀) ∈ (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵)) ∧ 𝑌𝐵)) → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6149, 50, 12, 57, 58, 60syl23anc 1376 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
6213simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
6362oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑁 𝑉))
6461, 63eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝑁(.g‘((mulGrp‘𝑅) ↑s 𝐵))(𝑂𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6547, 64eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉))
6615, 65jca 511 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cn0 12524  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  s cpws 17493  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evl1 22336
This theorem is referenced by:  evl1varpwval  22382  idomrootle  26227  plypf1  26266  lgsqrlem1  27405  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c5lem2  42120  aks5lem2  42169  aks5lem3a  42171
  Copyright terms: Public domain W3C validator