Theorem natoppf2 50065

Description: A natural transformation is natural between opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natoppf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
natoppf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
natoppf.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natoppf.m	⊢ 𝑀 = (𝑂 Nat 𝑃)
natoppfb.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ( oppFunc ‘𝐹))
natoppfb.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ( oppFunc ‘𝐺))
natoppf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))

Assertion

Ref	Expression
natoppf2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐿𝑀𝐾))

Proof of Theorem natoppf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natoppf.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		natoppf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		natoppf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4		natoppf.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑂 Nat 𝑃)
5		natoppf2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))
6	3, 5	nat1st2nd 18033	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩𝑁⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩))
7	1, 2, 3, 4, 6	natoppf 50064	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩𝑀⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩))
8		natoppfb.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ( oppFunc ‘𝐺))
9	3	natrcl 18032	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
10	9	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11		oppfval2 49972	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐺) = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
12	5, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐺) = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
13	8, 12	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
14		natoppfb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ( oppFunc ‘𝐹))
15	9	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
16		oppfval2 49972	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
17	5, 15, 16	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
18	14, 17	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
19	13, 18	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿𝑀𝐾) = (⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩𝑀⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩))
20	7, 19	eleqtrrd 2868	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐿𝑀𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  tpos ctpos 8227  oppCatcoppc 17789   Func cfunc 17933   Nat cnat 18023   oppFunc coppf 49957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-hom 17356  df-cco 17357  df-cat 17746  df-cid 17747  df-oppc 17790  df-func 17937  df-nat 18025  df-oppf 49958

This theorem is used by:  natoppfb  50066