Theorem natoppf2 50156

Description: A natural transformation is natural between opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
natoppf.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
natoppf.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
natoppf.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natoppf.m	⊢ 𝑀 = (𝑂 Nat 𝑃)
natoppfb.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ( oppFunc ‘𝐹))
natoppfb.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ( oppFunc ‘𝐺))
natoppf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))

Assertion

Ref	Expression
natoppf2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐿𝑀𝐾))

Proof of Theorem natoppf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natoppf.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		natoppf.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3		natoppf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4		natoppf.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑂 Nat 𝑃)
5		natoppf2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺))
6	3, 5	nat1st2nd 18043	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩𝑁⟨(1st ‘𝐺), (2nd ‘𝐺)⟩))
7	1, 2, 3, 4, 6	natoppf 50155	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩𝑀⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩))
8		natoppfb.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ( oppFunc ‘𝐺))
9	3	natrcl 18042	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
10	9	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11		oppfval2 50063	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐺) = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
12	5, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐺) = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
13	8, 12	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩)
14		natoppfb.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ( oppFunc ‘𝐹))
15	9	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐺) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
16		oppfval2 50063	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
17	5, 15, 16	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
18	14, 17	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩)
19	13, 18	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿𝑀𝐾) = (⟨(1st ‘𝐺), tpos (2nd ‘𝐺)⟩𝑀⟨(1st ‘𝐹), tpos (2nd ‘𝐹)⟩))
20	7, 19	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐿𝑀𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  tpos ctpos 8223  oppCatcoppc 17799   Func cfunc 17943   Nat cnat 18033   oppFunc coppf 50048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-oppc 17800  df-func 17947  df-nat 18035  df-oppf 50049

This theorem is used by:  natoppfb  50157