MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 26590
Description: Lemma for basel 26594. The function ๐บ goes to zero because it is bounded by 1 / ๐‘›. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 ๐บ โ‡ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12865 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12593 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 ax-1cn 11168 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 divcnv 15799 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
6 basel.g . . . . 5 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7 nnex 12218 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
87mptex 7225 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
96, 8eqeltri 2830 . . . 4 ๐บ โˆˆ V
109a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐บ โˆˆ V)
11 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
13 ovex 7442 . . . . . 6 (1 / ๐‘˜) โˆˆ V
1411, 12, 13fvmpt 6999 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
1514adantl 483 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
16 nnrecre 12254 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1716adantl 483 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1815, 17eqeltrd 2834 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
19 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
2019oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
2120oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
22 ovex 7442 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ V
2321, 6, 22fvmpt 6999 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
2423adantl 483 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
25 2nn 12285 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
2625a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
27 nnmulcl 12236 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2826, 27sylan 581 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2928peano2nnd 12229 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
3029nnrecred 12263 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„)
3124, 30eqeltrd 2834 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
32 nnre 12219 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3332adantl 483 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3428nnred 12227 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3529nnred 12227 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
36 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3736adantl 483 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
38 nn0addge1 12518 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
3933, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
4033recnd 11242 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
41402timesd 12455 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ + ๐‘˜))
4239, 41breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
4334lep1d 12145 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 11371 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
45 nngt0 12243 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
4645adantl 483 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
4729nngt0d 12261 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
48 lerec 12097 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜) โˆง (((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 838 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
5044, 49mpbid 231 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5150, 24, 153brtr4d 5181 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
5229nnrpd 13014 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„+)
5352rpreccld 13026 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„+)
5453rpge0d 13020 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
5554, 24breqtrrd 5177 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 15586 . 2 (โŠค โ†’ ๐บ โ‡ 0)
5756mptru 1549 1 ๐บ โ‡ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433
This theorem is referenced by:  basellem7  26591  basellem9  26593
  Copyright terms: Public domain W3C validator