Theorem basellem6 27052

Description: Lemma for basel 27056. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
basellem6	⊢ 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12522	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11084	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15776	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		basel.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		nnex 12151	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16		nnrecre 12187	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
21	20	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
23	21, 6, 22	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25		2nn 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27		nnmulcl 12169	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
28	26, 27	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 12162	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnrecred 12196	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
31	24, 30	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
32		nnre 12152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
34	28	nnred 12160	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
35	29	nnred 12160	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38		nn0addge1 12447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
40	33	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	40	2timesd 12384	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
42	39, 41	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
43	34	lep1d 12073	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
44	33, 34, 35, 42, 43	letrd 11290	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45		nngt0 12176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
46	45	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
47	29	nngt0d 12194	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48		lerec 12025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
49	33, 46, 35, 47, 48	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
50	44, 49	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
51	50, 24, 15	3brtr4d 5130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
52	29	nnrpd 12947	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
53	52	rpreccld 12959	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 12953	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
55	54, 24	breqtrrd 5126	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
56	1, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55	climsqz2 15565	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
57	56	mptru 1548	1 ⊢ 𝐺 ⇝ 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  basellem7  27053  basellem9  27055