MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 26597
Description: Lemma for basel 26601. The function ๐บ goes to zero because it is bounded by 1 / ๐‘›. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 ๐บ โ‡ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12867 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12595 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 ax-1cn 11170 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 divcnv 15801 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
6 basel.g . . . . 5 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7 nnex 12220 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
87mptex 7227 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
96, 8eqeltri 2829 . . . 4 ๐บ โˆˆ V
109a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐บ โˆˆ V)
11 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
13 ovex 7444 . . . . . 6 (1 / ๐‘˜) โˆˆ V
1411, 12, 13fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
1514adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
16 nnrecre 12256 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1716adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1815, 17eqeltrd 2833 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
19 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
2019oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
2120oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
22 ovex 7444 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ V
2321, 6, 22fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
2423adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
25 2nn 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
2625a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
27 nnmulcl 12238 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2826, 27sylan 580 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2928peano2nnd 12231 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
3029nnrecred 12265 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„)
3124, 30eqeltrd 2833 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
32 nnre 12221 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3332adantl 482 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3428nnred 12229 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3529nnred 12229 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
36 nnnn0 12481 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
38 nn0addge1 12520 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
4033recnd 11244 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
41402timesd 12457 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ + ๐‘˜))
4239, 41breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
4334lep1d 12147 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 11373 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
45 nngt0 12245 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
4645adantl 482 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
4729nngt0d 12263 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
48 lerec 12099 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜) โˆง (((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 837 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
5044, 49mpbid 231 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5150, 24, 153brtr4d 5180 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
5229nnrpd 13016 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„+)
5352rpreccld 13028 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„+)
5453rpge0d 13022 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
5554, 24breqtrrd 5176 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 15588 . 2 (โŠค โ†’ ๐บ โ‡ 0)
5756mptru 1548 1 ๐บ โ‡ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474   โ‡ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435
This theorem is referenced by:  basellem7  26598  basellem9  26600
  Copyright terms: Public domain W3C validator