MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 27144
Description: Lemma for basel 27148. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12919 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12646 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 11211 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 15886 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 basel.g . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7 nnex 12270 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 7243 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
96, 8eqeltri 2835 . . . 4 𝐺 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 7464 . . . . . 6 (1 / 𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
1514adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16 nnrecre 12306 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2839 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2120oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22 ovex 7464 . . . . . 6 (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
2321, 6, 22fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
2423adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25 2nn 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27 nnmulcl 12288 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2826, 27sylan 580 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2928peano2nnd 12281 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3029nnrecred 12315 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
3124, 30eqeltrd 2839 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
32 nnre 12271 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
3428nnred 12279 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
3529nnred 12279 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36 nnnn0 12531 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38 nn0addge1 12570 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
4033recnd 11287 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41402timesd 12507 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
4239, 41breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
4334lep1d 12197 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 11416 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45 nngt0 12295 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
4729nngt0d 12313 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48 lerec 12149 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 839 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
5044, 49mpbid 232 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5150, 24, 153brtr4d 5180 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
5229nnrpd 13073 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
5352rpreccld 13085 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 13079 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5554, 24breqtrrd 5176 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 15675 . 2 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
5756mptru 1544 1 𝐺 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  basellem7  27145  basellem9  27147
  Copyright terms: Public domain W3C validator