Theorem basellem6 26216

Description: Lemma for basel 26220. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
basellem6	⊢ 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12603	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12334	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 10913	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15546	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		basel.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		nnex 11962	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7093	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2836	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11		oveq2 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7301	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16		nnrecre 11998	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19		oveq2 7276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	oveq1d 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
21	20	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22		ovex 7301	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
23	21, 6, 22	fvmpt 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25		2nn 12029	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27		nnmulcl 11980	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
28	26, 27	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 11973	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnrecred 12007	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
31	24, 30	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
32		nnre 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
34	28	nnred 11971	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
35	29	nnred 11971	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36		nnnn0 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38		nn0addge1 12262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
39	33, 37, 38	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
40	33	recnd 10987	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	40	2timesd 12199	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
42	39, 41	breqtrrd 5106	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
43	34	lep1d 11889	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
44	33, 34, 35, 42, 43	letrd 11115	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45		nngt0 11987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
46	45	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
47	29	nngt0d 12005	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48		lerec 11841	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
49	33, 46, 35, 47, 48	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
50	44, 49	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
51	50, 24, 15	3brtr4d 5110	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
52	29	nnrpd 12752	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
53	52	rpreccld 12764	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 12758	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
55	54, 24	breqtrrd 5106	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
56	1, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55	climsqz2 15332	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
57	56	mptru 1548	1 ⊢ 𝐺 ⇝ 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993   ≤ cle 10994   / cdiv 11615  ℕcn 11956  2c2 12011  ℕ₀cn0 12216   ⇝ cli 15174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179

This theorem is referenced by:  basellem7  26217  basellem9  26219