Theorem basellem6 27003

Description: Lemma for basel 27007. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
basellem6	⊢ 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12843	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12571	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		divcnv 15826	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6		basel.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		nnex 12199	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 7200	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
14	11, 12, 13	fvmpt 6971	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16		nnrecre 12235	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
18	15, 17	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
21	20	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
23	21, 6, 22	fvmpt 6971	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25		2nn 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27		nnmulcl 12217	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
28	26, 27	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 12210	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnrecred 12244	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
31	24, 30	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
32		nnre 12200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
34	28	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
35	29	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36		nnnn0 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38		nn0addge1 12495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
40	33	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41	40	2timesd 12432	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
42	39, 41	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
43	34	lep1d 12121	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
44	33, 34, 35, 42, 43	letrd 11338	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45		nngt0 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
46	45	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
47	29	nngt0d 12242	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48		lerec 12073	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
49	33, 46, 35, 47, 48	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
50	44, 49	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
51	50, 24, 15	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
52	29	nnrpd 13000	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
53	52	rpreccld 13012	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
54	53	rpge0d 13006	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
55	54, 24	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
56	1, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55	climsqz2 15615	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
57	56	mptru 1547	1 ⊢ 𝐺 ⇝ 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462

This theorem is referenced by:  basellem7  27004  basellem9  27006