MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 26587
Description: Lemma for basel 26591. The function ๐บ goes to zero because it is bounded by 1 / ๐‘›. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 ๐บ โ‡ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12592 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 ax-1cn 11167 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
4 divcnv 15798 . . . 4 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) โ‡ 0)
6 basel.g . . . . 5 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7 nnex 12217 . . . . . 6 โ„• โˆˆ V
87mptex 7224 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1))) โˆˆ V
96, 8eqeltri 2829 . . . 4 ๐บ โˆˆ V
109a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ ๐บ โˆˆ V)
11 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
13 ovex 7441 . . . . . 6 (1 / ๐‘˜) โˆˆ V
1411, 12, 13fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
1514adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
16 nnrecre 12253 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1716adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1815, 17eqeltrd 2833 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
19 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
2019oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
2120oveq2d 7424 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
22 ovex 7441 . . . . . 6 (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ V
2321, 6, 22fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
2423adantl 482 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
25 2nn 12284 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
2625a1i 11 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
27 nnmulcl 12235 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2826, 27sylan 580 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2928peano2nnd 12228 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„•)
3029nnrecred 12262 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„)
3124, 30eqeltrd 2833 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
32 nnre 12218 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3332adantl 482 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3428nnred 12226 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3529nnred 12226 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„)
36 nnnn0 12478 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
38 nn0addge1 12517 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
4033recnd 11241 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
41402timesd 12454 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ + ๐‘˜))
4239, 41breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
4334lep1d 12144 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 11370 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
45 nngt0 12242 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
4645adantl 482 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
4729nngt0d 12260 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))
48 lerec 12096 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜) โˆง (((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 837 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โ†” (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
5044, 49mpbid 231 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5150, 24, 153brtr4d 5180 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))โ€˜๐‘˜))
5229nnrpd 13013 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„+)
5352rpreccld 13025 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„+)
5453rpge0d 13019 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
5554, 24breqtrrd 5176 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 15585 . 2 (โŠค โ†’ ๐บ โ‡ 0)
5756mptru 1548 1 ๐บ โ‡ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541  โŠคwtru 1542   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471   โ‡ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432
This theorem is referenced by:  basellem7  26588  basellem9  26590
  Copyright terms: Public domain W3C validator