MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 27129
Description: Lemma for basel 27133. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 15889 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 basel.g . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7 nnex 12272 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 7243 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
96, 8eqeltri 2837 . . . 4 𝐺 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 7464 . . . . . 6 (1 / 𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
1514adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16 nnrecre 12308 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2841 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2120oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22 ovex 7464 . . . . . 6 (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
2321, 6, 22fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
2423adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25 2nn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27 nnmulcl 12290 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2826, 27sylan 580 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2928peano2nnd 12283 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3029nnrecred 12317 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
3124, 30eqeltrd 2841 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
32 nnre 12273 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
3428nnred 12281 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
3529nnred 12281 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38 nn0addge1 12572 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
3933, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
4033recnd 11289 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41402timesd 12509 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
4239, 41breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
4334lep1d 12199 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 11418 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45 nngt0 12297 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
4729nngt0d 12315 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48 lerec 12151 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 839 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
5044, 49mpbid 232 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5150, 24, 153brtr4d 5175 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
5229nnrpd 13075 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
5352rpreccld 13087 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 13081 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5554, 24breqtrrd 5171 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 15678 . 2 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
5756mptru 1547 1 𝐺 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  basellem7  27130  basellem9  27132
  Copyright terms: Public domain W3C validator