Theorem coe1tmmul2fv 22302

Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmmul2fv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2fv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1tmmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
11		coe1tmmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1tmmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	coe1tmmul2 22300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )))
16	15	fveq1d 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
17		coe1tmmul2fv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
18	14, 17	nn0addcld 12617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
19		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
20		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
21	20	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
22	19, 21	ifbieq1d 4572	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
24		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) ∈ V
25	1	fvexi 6934	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	24, 25	ifex 4598	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) ∈ V
27	22, 23, 26	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
28	18, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
29	14	nn0red 12614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 12599	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
31	29, 17, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
32	31	iftrued 4556	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
33	14	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	17	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncan2d 11649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
36	35	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
37	36	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
38	28, 32, 37	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
39	16, 38	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205

This theorem is referenced by:  ply1divex  26196