MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2fv 22201
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
coe1tmmul2fv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
2 coe1tm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 coe1tm.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 coe1tm.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
5 coe1tm.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 coe1tm.n . . . 4 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
7 coe1tm.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
8 coe1tmmul.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
11 coe1tmmul.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
12 coe1tmmul.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
14 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 22199 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
1615fveq1d 6892 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)))
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
1814, 17nn0addcld 12561 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
19 breq2 5148 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ)))
20 fvoveq1 7436 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)))
2120oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
2219, 21ifbieq1d 4549 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
23 eqid 2725 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
24 ovex 7446 . . . . . 6 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โˆˆ V
251fvexi 6904 . . . . . 6 0 โˆˆ V
2624, 25ifex 4575 . . . . 5 if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โˆˆ V
2722, 23, 26fvmpt 6998 . . . 4 ((๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2818, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2914nn0red 12558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
30 nn0addge1 12543 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3129, 17, 30syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3231iftrued 4533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
3314nn0cnd 12559 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3417nn0cnd 12559 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3533, 34pncan2d 11598 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท) = ๐‘Œ)
3635fveq2d 6894 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ))
3736oveq1d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3828, 32, 373eqtrd 2769 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3916, 38eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4525   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132   + caddc 11136   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  โ„•0cn0 12497  Basecbs 17174  .rcmulr 17228   ยท๐‘  cvsca 17231  0gc0g 17415  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105
This theorem is referenced by:  ply1divex  26085
  Copyright terms: Public domain W3C validator