![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coe1tmmul2fv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1tm.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
coe1tm.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
coe1tm.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
coe1tm.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
coe1tm.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
coe1tm.n | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
coe1tm.e | โข โ = (.gโ๐) |
coe1tmmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
coe1tmmul.t | โข โ = (.rโ๐) |
coe1tmmul.u | โข ร = (.rโ๐ ) |
coe1tmmul.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
coe1tmmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
coe1tmmul.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐พ) |
coe1tmmul.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
coe1tmmul2fv.y | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1tmmul2fv | โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | coe1tm.z | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
2 | coe1tm.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
3 | coe1tm.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
4 | coe1tm.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
5 | coe1tm.m | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
6 | coe1tm.n | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
7 | coe1tm.e | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
8 | coe1tmmul.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
9 | coe1tmmul.t | . . . 4 โข โ = (.rโ๐) | |
10 | coe1tmmul.u | . . . 4 โข ร = (.rโ๐ ) | |
11 | coe1tmmul.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
12 | coe1tmmul.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
13 | coe1tmmul.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐พ) | |
14 | coe1tmmul.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
15 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | coe1tmmul2 22199 | . . 3 โข (๐ โ (coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐)))) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))) |
16 | 15 | fveq1d 6892 | . 2 โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐))) |
17 | coe1tmmul2fv.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
18 | 14, 17 | nn0addcld 12561 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท + ๐) โ โ0) |
19 | breq2 5148 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค (๐ท + ๐))) | |
20 | fvoveq1 7436 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) | |
21 | 20 | oveq1d 7428 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ) = (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ)) |
22 | 19, 21 | ifbieq1d 4549 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
23 | eqid 2725 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) | |
24 | ovex 7446 | . . . . . 6 โข (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ) โ V | |
25 | 1 | fvexi 6904 | . . . . . 6 โข 0 โ V |
26 | 24, 25 | ifex 4575 | . . . . 5 โข if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) โ V |
27 | 22, 23, 26 | fvmpt 6998 | . . . 4 โข ((๐ท + ๐) โ โ0 โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
28 | 18, 27 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
29 | 14 | nn0red 12558 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
30 | nn0addge1 12543 | . . . . 5 โข ((๐ท โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) | |
31 | 29, 17, 30 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) |
32 | 31 | iftrued 4533 | . . 3 โข (๐ โ if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) = (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ)) |
33 | 14 | nn0cnd 12559 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
34 | 17 | nn0cnd 12559 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
35 | 33, 34 | pncan2d 11598 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ท + ๐) โ ๐ท) = ๐) |
36 | 35 | fveq2d 6894 | . . . 4 โข (๐ โ ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
37 | 36 | oveq1d 7428 | . . 3 โข (๐ โ (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
38 | 28, 32, 37 | 3eqtrd 2769 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
39 | 16, 38 | eqtrd 2765 | 1 โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4525 class class class wbr 5144 โฆ cmpt 5227 โcfv 6543 (class class class)co 7413 โcr 11132 + caddc 11136 โค cle 11274 โ cmin 11469 โ0cn0 12497 Basecbs 17174 .rcmulr 17228 ยท๐ cvsca 17231 0gc0g 17415 .gcmg 19022 mulGrpcmgp 20073 Ringcrg 20172 var1cv1 22098 Poly1cpl1 22099 coe1cco1 22100 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7679 df-ofr 7680 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9381 df-sup 9460 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-hash 14317 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-hom 17251 df-cco 17252 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-prds 17423 df-pws 17425 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-mhm 18734 df-submnd 18735 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-sbg 18894 df-mulg 19023 df-subg 19077 df-ghm 19167 df-cntz 19267 df-cmn 19736 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 df-subrng 20482 df-subrg 20507 df-lmod 20744 df-lss 20815 df-psr 21841 df-mvr 21842 df-mpl 21843 df-opsr 21845 df-psr1 22102 df-vr1 22103 df-ply1 22104 df-coe1 22105 |
This theorem is referenced by: ply1divex 26085 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |