Theorem coe1tmmul2fv 22281

Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmmul2fv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2fv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1tmmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
11		coe1tmmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1tmmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	coe1tmmul2 22279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )))
16	15	fveq1d 6908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
17		coe1tmmul2fv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
18	14, 17	nn0addcld 12591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
19		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
20		fvoveq1 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
21	20	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
22	19, 21	ifbieq1d 4550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
24		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) ∈ V
25	1	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	24, 25	ifex 4576	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) ∈ V
27	22, 23, 26	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
28	18, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
29	14	nn0red 12588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 12572	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
31	29, 17, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
32	31	iftrued 4533	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
33	14	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	17	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncan2d 11622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
36	35	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
37	36	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
38	28, 32, 37	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
39	16, 38	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184

This theorem is referenced by:  ply1divex  26176