MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2fv 22171
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
coe1tmmul2fv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
2 coe1tm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 coe1tm.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 coe1tm.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
5 coe1tm.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 coe1tm.n . . . 4 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
7 coe1tm.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
8 coe1tmmul.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
11 coe1tmmul.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
12 coe1tmmul.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
14 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 22169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
1615fveq1d 6893 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)))
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
1814, 17nn0addcld 12552 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
19 breq2 5146 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ)))
20 fvoveq1 7437 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)))
2120oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
2219, 21ifbieq1d 4548 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
23 eqid 2727 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
24 ovex 7447 . . . . . 6 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โˆˆ V
251fvexi 6905 . . . . . 6 0 โˆˆ V
2624, 25ifex 4574 . . . . 5 if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โˆˆ V
2722, 23, 26fvmpt 6999 . . . 4 ((๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2818, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2914nn0red 12549 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
30 nn0addge1 12534 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3129, 17, 30syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3231iftrued 4532 . . 3 (๐œ‘ โ†’ if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
3314nn0cnd 12550 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3417nn0cnd 12550 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3533, 34pncan2d 11589 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท) = ๐‘Œ)
3635fveq2d 6895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ))
3736oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3828, 32, 373eqtrd 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3916, 38eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123   + caddc 11127   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  โ„•0cn0 12488  Basecbs 17165  .rcmulr 17219   ยท๐‘  cvsca 17222  0gc0g 17406  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076
This theorem is referenced by:  ply1divex  26046
  Copyright terms: Public domain W3C validator