Theorem coe1tmmul2fv 22197

Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmmul2fv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2fv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1tmmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
11		coe1tmmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1tmmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	coe1tmmul2 22195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )))
16	15	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
17		coe1tmmul2fv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
18	14, 17	nn0addcld 12483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
19		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
20		fvoveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
21	20	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
22	19, 21	ifbieq1d 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
24		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) ∈ V
25	1	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	24, 25	ifex 4535	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) ∈ V
27	22, 23, 26	fvmpt 6950	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
28	18, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
29	14	nn0red 12480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 12464	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
31	29, 17, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
32	31	iftrued 4492	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
33	14	nn0cnd 12481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	17	nn0cnd 12481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncan2d 11511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
36	35	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
37	36	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
38	28, 32, 37	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
39	16, 38	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  ._gcmg 18981  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  var₁cv1 22093  Poly₁cpl1 22094  coe₁cco1 22095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100

This theorem is referenced by:  ply1divex  26075