Theorem coe1tmmul2fv 21002

Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmmul2fv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2fv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1tmmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
11		coe1tmmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1tmmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	coe1tmmul2 21000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )))
16	15	fveq1d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
17		coe1tmmul2fv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
18	14, 17	nn0addcld 11998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
19		breq2 5036	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
20		fvoveq1 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
21	20	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
22	19, 21	ifbieq1d 4444	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
23		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
24		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) ∈ V
25	1	fvexi 6672	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	24, 25	ifex 4470	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) ∈ V
27	22, 23, 26	fvmpt 6759	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
28	18, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
29	14	nn0red 11995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 11980	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
31	29, 17, 30	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
32	31	iftrued 4428	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
33	14	nn0cnd 11996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	17	nn0cnd 11996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncan2d 11037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
36	35	fveq2d 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
37	36	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
38	28, 32, 37	3eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
39	16, 38	eqtrd 2793	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4420   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574   + caddc 10578   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕ₀cn0 11934  Basecbs 16541  ._rcmulr 16624   ·_𝑠 cvsca 16627  0_gc0g 16771  ._gcmg 18291  mulGrpcmgp 19307  Ringcrg 19365  var₁cv1 20900  Poly₁cpl1 20901  coe₁cco1 20902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-ple 16643  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-vr1 20905  df-ply1 20906  df-coe1 20907

This theorem is referenced by:  ply1divex  24836