Theorem coe1tmmul2fv 22224

Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmmul2fv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul2fv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1tmmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
11		coe1tmmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1tmmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	coe1tmmul2 22222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )))
16	15	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
17		coe1tmmul2fv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
18	14, 17	nn0addcld 12470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
19		breq2 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
20		fvoveq1 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
21	20	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
22	19, 21	ifbieq1d 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
24		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) ∈ V
25	1	fvexi 6849	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
26	24, 25	ifex 4531	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) ∈ V
27	22, 23, 26	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
28	18, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))
29	14	nn0red 12467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
30		nn0addge1 12451	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
31	29, 17, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
32	31	iftrued 4488	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶), 0 ) = (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶))
33	14	nn0cnd 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
34	17	nn0cnd 12468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncan2d 11498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
36	35	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
37	36	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) × 𝐶) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
38	28, 32, 37	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) × 𝐶), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))
39	16, 38	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐴 ∙ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))))‘(𝐷 + 𝑌)) = (((coe1‘𝐴)‘𝑌) × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029   + caddc 11033   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182   ·_𝑠 cvsca 17185  0_gc0g 17363  ._gcmg 19001  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20172  var₁cv1 22120  Poly₁cpl1 22121  coe₁cco1 22122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127

This theorem is referenced by:  ply1divex  26102