MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2fv 21791
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
coe1tmmul2fv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2fv (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))

Proof of Theorem coe1tmmul2fv
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
2 coe1tm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 coe1tm.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 coe1tm.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
5 coe1tm.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 coe1tm.n . . . 4 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
7 coe1tm.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
8 coe1tmmul.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
11 coe1tmmul.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
12 coe1tmmul.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
14 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14coe1tmmul2 21789 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
1615fveq1d 6890 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)))
17 coe1tmmul2fv.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
1814, 17nn0addcld 12532 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
19 breq2 5151 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ)))
20 fvoveq1 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)))
2120oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
2219, 21ifbieq1d 4551 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ท + ๐‘Œ) โ†’ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
23 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
24 ovex 7438 . . . . . 6 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โˆˆ V
251fvexi 6902 . . . . . 6 0 โˆˆ V
2624, 25ifex 4577 . . . . 5 if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โˆˆ V
2722, 23, 26fvmpt 6995 . . . 4 ((๐ท + ๐‘Œ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2818, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
2914nn0red 12529 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
30 nn0addge1 12514 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3129, 17, 30syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ))
3231iftrued 4535 . . 3 (๐œ‘ โ†’ if(๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘Œ), (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
3314nn0cnd 12530 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3417nn0cnd 12530 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3533, 34pncan2d 11569 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท) = ๐‘Œ)
3635fveq2d 6892 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ))
3736oveq1d 7420 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜((๐ท + ๐‘Œ) โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3828, 32, 373eqtrd 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
3916, 38eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))))โ€˜(๐ท + ๐‘Œ)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘Œ) ร— ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105   + caddc 11109   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  โ„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194   ยท๐‘  cvsca 17197  0gc0g 17381  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698
This theorem is referenced by:  ply1divex  25645
  Copyright terms: Public domain W3C validator