![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coe1tmmul2fv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Function value of a right-multiplication by a term in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1tm.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
coe1tm.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
coe1tm.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
coe1tm.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
coe1tm.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
coe1tm.n | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
coe1tm.e | โข โ = (.gโ๐) |
coe1tmmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
coe1tmmul.t | โข โ = (.rโ๐) |
coe1tmmul.u | โข ร = (.rโ๐ ) |
coe1tmmul.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
coe1tmmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
coe1tmmul.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐พ) |
coe1tmmul.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
coe1tmmul2fv.y | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1tmmul2fv | โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | coe1tm.z | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
2 | coe1tm.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
3 | coe1tm.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
4 | coe1tm.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
5 | coe1tm.m | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
6 | coe1tm.n | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
7 | coe1tm.e | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
8 | coe1tmmul.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
9 | coe1tmmul.t | . . . 4 โข โ = (.rโ๐) | |
10 | coe1tmmul.u | . . . 4 โข ร = (.rโ๐ ) | |
11 | coe1tmmul.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
12 | coe1tmmul.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
13 | coe1tmmul.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐พ) | |
14 | coe1tmmul.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
15 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | coe1tmmul2 21789 | . . 3 โข (๐ โ (coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐)))) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))) |
16 | 15 | fveq1d 6890 | . 2 โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐))) |
17 | coe1tmmul2fv.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
18 | 14, 17 | nn0addcld 12532 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท + ๐) โ โ0) |
19 | breq2 5151 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค (๐ท + ๐))) | |
20 | fvoveq1 7428 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) | |
21 | 20 | oveq1d 7420 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ) = (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ)) |
22 | 19, 21 | ifbieq1d 4551 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
23 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) | |
24 | ovex 7438 | . . . . . 6 โข (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ) โ V | |
25 | 1 | fvexi 6902 | . . . . . 6 โข 0 โ V |
26 | 24, 25 | ifex 4577 | . . . . 5 โข if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) โ V |
27 | 22, 23, 26 | fvmpt 6995 | . . . 4 โข ((๐ท + ๐) โ โ0 โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
28 | 18, 27 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 )) |
29 | 14 | nn0red 12529 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
30 | nn0addge1 12514 | . . . . 5 โข ((๐ท โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) | |
31 | 29, 17, 30 | syl2anc 584 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) |
32 | 31 | iftrued 4535 | . . 3 โข (๐ โ if(๐ท โค (๐ท + ๐), (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ) = (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ)) |
33 | 14 | nn0cnd 12530 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
34 | 17 | nn0cnd 12530 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
35 | 33, 34 | pncan2d 11569 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ท + ๐) โ ๐ท) = ๐) |
36 | 35 | fveq2d 6892 | . . . 4 โข (๐ โ ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
37 | 36 | oveq1d 7420 | . . 3 โข (๐ โ (((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) ร ๐ถ) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
38 | 28, 32, 37 | 3eqtrd 2776 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, (((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) ร ๐ถ), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
39 | 16, 38 | eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ ((coe1โ(๐ด โ (๐ถ ยท (๐ท โ ๐))))โ(๐ท + ๐)) = (((coe1โ๐ด)โ๐) ร ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1541 โ wcel 2106 ifcif 4527 class class class wbr 5147 โฆ cmpt 5230 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โcr 11105 + caddc 11109 โค cle 11245 โ cmin 11440 โ0cn0 12468 Basecbs 17140 .rcmulr 17194 ยท๐ cvsca 17197 0gc0g 17381 .gcmg 18944 mulGrpcmgp 19981 Ringcrg 20049 var1cv1 21691 Poly1cpl1 21692 coe1cco1 21693 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-ofr 7667 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-sup 9433 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-seq 13963 df-hash 14287 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-hom 17217 df-cco 17218 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-prds 17389 df-pws 17391 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-mhm 18667 df-submnd 18668 df-grp 18818 df-minusg 18819 df-sbg 18820 df-mulg 18945 df-subg 18997 df-ghm 19084 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-abl 19645 df-mgp 19982 df-ur 19999 df-ring 20051 df-subrg 20353 df-lmod 20465 df-lss 20535 df-psr 21453 df-mvr 21454 df-mpl 21455 df-opsr 21457 df-psr1 21695 df-vr1 21696 df-ply1 21697 df-coe1 21698 |
This theorem is referenced by: ply1divex 25645 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |