Theorem signstfvc 35286

Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfvc	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑓, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signstfvc

Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ ∅))
2	1	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)))
3	2	fveq1d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁))
4	3	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ∅ → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
6		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑒 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝑒))
7	6	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑒 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒)))
8	7	fveq1d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑒 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
9	8	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑒 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑒 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
11		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
12	11	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
13	12	fveq1d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
14	13	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
16		oveq2 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝐺))
17	16	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺)))
18	17	fveq1d 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁))
19	18	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
20	19	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
21		ccatrid 14763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ∅) = 𝐹)
22	21	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)) = (𝑇‘𝐹))
23	22	fveq1d 6913	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))
25		s1cl 14779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ)
26		ccatass 14764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
27	25, 26	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
28	27	3expb 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
29	28	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
30	29	fveq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
31	30	fveq1d 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
32		ccatcl 14749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
33	32	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
34		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35		lencl 14708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 12748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
38		lencl 14708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
39	32, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ)
41	35	nn0red 12698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
42		lencl 14708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ Word ℝ → (♯‘𝑒) ∈ ℕ0)
43		nn0addge1 12682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑒) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
44	41, 42, 43	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
45		ccatlen 14750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
46	44, 45	breqtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))
47		eluz2 13001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
48	37, 40, 46, 47	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐹)))
49		fzoss2 13852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
51	50	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
52		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
53	51, 52	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
54		signsv.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
55		signsv.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
56		signsv.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
57		signsv.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
58	54, 55, 56, 57	signstfvp 35283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
59	33, 34, 53, 58	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
60	31, 59	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
61		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))
62	60, 61	sylan9eq 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))
63	62	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
64	63	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
65	64	a2d 30	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))))
66	5, 10, 15, 20, 24, 65	wrdind 14902	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁)))
67	66	3impib 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))
68	67	3com12 1141	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇‘𝐹)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   ≤ cle 11374   − cmin 11571   -cneg 11572  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   ++ cconcat 14745  ⟨“cs1 14772  sgncsgn 15271  Σcsu 15885  ndxcnx 17403  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460   Σ_g cgsu 17643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852

This theorem is used by:  signstres  35287