Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvc 34590
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvc ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvc
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ ∅))
21fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)))
32fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁))
43eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑔 = ∅ → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑔 = ∅ → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝑒))
76fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑒 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒)))
87fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑒 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
98eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑔 = 𝑒 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑔 = 𝑒 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
11 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
1211fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
1312fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
1413eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
16 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝐺))
1716fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺)))
1817fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁))
1918eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
21 ccatrid 14626 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ∅) = 𝐹)
2221fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)) = (𝑇𝐹))
2322fveq1d 6907 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
2423adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
25 s1cl 14641 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ)
26 ccatass 14627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
2725, 26syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
28273expb 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
2928adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
3029fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
3130fveq1d 6907 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
32 ccatcl 14613 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
3332ad2ant2r 747 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
34 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
35 lencl 14572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3635nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
38 lencl 14572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
4039nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ)
4135nn0red 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
42 lencl 14572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ Word ℝ → (♯‘𝑒) ∈ ℕ0)
43 nn0addge1 12574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑒) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
4441, 42, 43syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
45 ccatlen 14614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
4644, 45breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))
47 eluz2 12885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
4837, 40, 46, 47syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)))
49 fzoss2 13728 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5150ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
52 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5351, 52sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
54 signsv.p . . . . . . . . . . 11 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
55 signsv.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
56 signsv.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
57 signsv.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5854, 55, 56, 57signstfvp 34587 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
5933, 34, 53, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6031, 59eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
61 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6260, 61sylan9eq 2796 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6362ex 412 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
6463expcom 413 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6564a2d 29 . . . 4 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
665, 10, 15, 20, 24, 65wrdind 14761 . . 3 (𝐺 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
67663impib 1116 . 2 ((𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
68673com12 1123 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  {cpr 4627  {ctp 4629  cop 4631   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14634  sgncsgn 15126  Σcsu 15723  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710
This theorem is referenced by:  signstres  34591
  Copyright terms: Public domain W3C validator