Theorem coe1pwmulfv 22608

Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1pwmulfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmulfv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

Proof of Theorem coe1pwmulfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1pwmul.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1pwmul.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1pwmul.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
5		coe1pwmul.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		coe1pwmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		coe1pwmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		coe1pwmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		coe1pwmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		coe1pwmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1pwmul 22607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
12	11	fveq1d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
13		coe1pwmulfv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0addcld 12678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
15		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
16		fvoveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
17	15, 16	ifbieq1d 4506	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
19		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) ∈ V
20	1	fvexi 6904	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
21	19, 20	ifex 4532	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) ∈ V
22	17, 18, 21	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
23	14, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
24	10	nn0red 12675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
25		nn0addge1 12659	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
26	24, 13, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
27	26	iftrued 4489	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
28	10	nn0cnd 12676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	13	nn0cnd 12676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
30	28, 29	pncan2d 11678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
31	30	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
32	23, 27, 31	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
33	12, 32	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206   + caddc 11210   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  0_gc0g 17619  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369  Ringcrg 20468  var₁cv1 22503  Poly₁cpl1 22504  coe₁cco1 22505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510

This theorem is used by:  hbtlem4  44237