![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coe1pwmulfv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmul.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
coe1pwmul.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
coe1pwmul.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
coe1pwmul.n | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
coe1pwmul.e | โข โ = (.gโ๐) |
coe1pwmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
coe1pwmul.t | โข ยท = (.rโ๐) |
coe1pwmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
coe1pwmul.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
coe1pwmul.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
coe1pwmulfv.y | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmulfv | โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | coe1pwmul.z | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
2 | coe1pwmul.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
3 | coe1pwmul.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
4 | coe1pwmul.n | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
5 | coe1pwmul.e | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
6 | coe1pwmul.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
7 | coe1pwmul.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐) | |
8 | coe1pwmul.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
9 | coe1pwmul.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
10 | coe1pwmul.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | coe1pwmul 21666 | . . 3 โข (๐ โ (coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด)) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))) |
12 | 11 | fveq1d 6845 | . 2 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐))) |
13 | coe1pwmulfv.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
14 | 10, 13 | nn0addcld 12482 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท + ๐) โ โ0) |
15 | breq2 5110 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค (๐ท + ๐))) | |
16 | fvoveq1 7381 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) | |
17 | 15, 16 | ifbieq1d 4511 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
18 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) | |
19 | fvex 6856 | . . . . . 6 โข ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) โ V | |
20 | 1 | fvexi 6857 | . . . . . 6 โข 0 โ V |
21 | 19, 20 | ifex 4537 | . . . . 5 โข if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) โ V |
22 | 17, 18, 21 | fvmpt 6949 | . . . 4 โข ((๐ท + ๐) โ โ0 โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
23 | 14, 22 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
24 | 10 | nn0red 12479 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
25 | nn0addge1 12464 | . . . . 5 โข ((๐ท โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) | |
26 | 24, 13, 25 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) |
27 | 26 | iftrued 4495 | . . 3 โข (๐ โ if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) |
28 | 10 | nn0cnd 12480 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
29 | 13 | nn0cnd 12480 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
30 | 28, 29 | pncan2d 11519 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท + ๐) โ ๐ท) = ๐) |
31 | 30 | fveq2d 6847 | . . 3 โข (๐ โ ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
32 | 23, 27, 31 | 3eqtrd 2777 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
33 | 12, 32 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 ifcif 4487 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcr 11055 + caddc 11059 โค cle 11195 โ cmin 11390 โ0cn0 12418 Basecbs 17088 .rcmulr 17139 0gc0g 17326 .gcmg 18877 mulGrpcmgp 19901 Ringcrg 19969 var1cv1 21563 Poly1cpl1 21564 coe1cco1 21565 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-ofr 7619 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8651 df-map 8770 df-pm 8771 df-ixp 8839 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-sup 9383 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-z 12505 df-dec 12624 df-uz 12769 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-seq 13913 df-hash 14237 df-struct 17024 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-ip 17156 df-tset 17157 df-ple 17158 df-ds 17160 df-hom 17162 df-cco 17163 df-0g 17328 df-gsum 17329 df-prds 17334 df-pws 17336 df-mre 17471 df-mrc 17472 df-acs 17474 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-mhm 18606 df-submnd 18607 df-grp 18756 df-minusg 18757 df-sbg 18758 df-mulg 18878 df-subg 18930 df-ghm 19011 df-cntz 19102 df-cmn 19569 df-abl 19570 df-mgp 19902 df-ur 19919 df-ring 19971 df-subrg 20234 df-lmod 20338 df-lss 20408 df-psr 21327 df-mvr 21328 df-mpl 21329 df-opsr 21331 df-psr1 21567 df-vr1 21568 df-ply1 21569 df-coe1 21570 |
This theorem is referenced by: hbtlem4 41496 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |