![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coe1pwmulfv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmul.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
coe1pwmul.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
coe1pwmul.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
coe1pwmul.n | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
coe1pwmul.e | โข โ = (.gโ๐) |
coe1pwmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
coe1pwmul.t | โข ยท = (.rโ๐) |
coe1pwmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
coe1pwmul.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
coe1pwmul.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
coe1pwmulfv.y | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmulfv | โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | coe1pwmul.z | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
2 | coe1pwmul.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
3 | coe1pwmul.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
4 | coe1pwmul.n | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
5 | coe1pwmul.e | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
6 | coe1pwmul.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
7 | coe1pwmul.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐) | |
8 | coe1pwmul.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
9 | coe1pwmul.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
10 | coe1pwmul.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | coe1pwmul 22205 | . . 3 โข (๐ โ (coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด)) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))) |
12 | 11 | fveq1d 6893 | . 2 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐))) |
13 | coe1pwmulfv.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
14 | 10, 13 | nn0addcld 12564 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท + ๐) โ โ0) |
15 | breq2 5147 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค (๐ท + ๐))) | |
16 | fvoveq1 7438 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) | |
17 | 15, 16 | ifbieq1d 4548 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
18 | eqid 2725 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) | |
19 | fvex 6904 | . . . . . 6 โข ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) โ V | |
20 | 1 | fvexi 6905 | . . . . . 6 โข 0 โ V |
21 | 19, 20 | ifex 4574 | . . . . 5 โข if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) โ V |
22 | 17, 18, 21 | fvmpt 6999 | . . . 4 โข ((๐ท + ๐) โ โ0 โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
23 | 14, 22 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
24 | 10 | nn0red 12561 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
25 | nn0addge1 12546 | . . . . 5 โข ((๐ท โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) | |
26 | 24, 13, 25 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) |
27 | 26 | iftrued 4532 | . . 3 โข (๐ โ if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) |
28 | 10 | nn0cnd 12562 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
29 | 13 | nn0cnd 12562 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
30 | 28, 29 | pncan2d 11601 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท + ๐) โ ๐ท) = ๐) |
31 | 30 | fveq2d 6895 | . . 3 โข (๐ โ ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
32 | 23, 27, 31 | 3eqtrd 2769 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
33 | 12, 32 | eqtrd 2765 | 1 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4524 class class class wbr 5143 โฆ cmpt 5226 โcfv 6542 (class class class)co 7415 โcr 11135 + caddc 11139 โค cle 11277 โ cmin 11472 โ0cn0 12500 Basecbs 17177 .rcmulr 17231 0gc0g 17418 .gcmg 19025 mulGrpcmgp 20076 Ringcrg 20175 var1cv1 22101 Poly1cpl1 22102 coe1cco1 22103 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7681 df-ofr 7682 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-er 8721 df-map 8843 df-pm 8844 df-ixp 8913 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-fsupp 9384 df-sup 9463 df-oi 9531 df-card 9960 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12501 df-z 12587 df-dec 12706 df-uz 12851 df-fz 13515 df-fzo 13658 df-seq 13997 df-hash 14320 df-struct 17113 df-sets 17130 df-slot 17148 df-ndx 17160 df-base 17178 df-ress 17207 df-plusg 17243 df-mulr 17244 df-sca 17246 df-vsca 17247 df-ip 17248 df-tset 17249 df-ple 17250 df-ds 17252 df-hom 17254 df-cco 17255 df-0g 17420 df-gsum 17421 df-prds 17426 df-pws 17428 df-mre 17563 df-mrc 17564 df-acs 17566 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-mhm 18737 df-submnd 18738 df-grp 18895 df-minusg 18896 df-sbg 18897 df-mulg 19026 df-subg 19080 df-ghm 19170 df-cntz 19270 df-cmn 19739 df-abl 19740 df-mgp 20077 df-rng 20095 df-ur 20124 df-ring 20177 df-subrng 20485 df-subrg 20510 df-lmod 20747 df-lss 20818 df-psr 21844 df-mvr 21845 df-mpl 21846 df-opsr 21848 df-psr1 22105 df-vr1 22106 df-ply1 22107 df-coe1 22108 |
This theorem is referenced by: hbtlem4 42614 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |