![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coe1pwmulfv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmul.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
coe1pwmul.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
coe1pwmul.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
coe1pwmul.n | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
coe1pwmul.e | โข โ = (.gโ๐) |
coe1pwmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
coe1pwmul.t | โข ยท = (.rโ๐) |
coe1pwmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
coe1pwmul.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
coe1pwmul.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
coe1pwmulfv.y | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
coe1pwmulfv | โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | coe1pwmul.z | . . . 4 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
2 | coe1pwmul.p | . . . 4 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
3 | coe1pwmul.x | . . . 4 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
4 | coe1pwmul.n | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
5 | coe1pwmul.e | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
6 | coe1pwmul.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
7 | coe1pwmul.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐) | |
8 | coe1pwmul.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
9 | coe1pwmul.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
10 | coe1pwmul.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | coe1pwmul 22172 | . . 3 โข (๐ โ (coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด)) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))) |
12 | 11 | fveq1d 6893 | . 2 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐))) |
13 | coe1pwmulfv.y | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
14 | 10, 13 | nn0addcld 12552 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท + ๐) โ โ0) |
15 | breq2 5146 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ (๐ท โค ๐ฅ โ ๐ท โค (๐ท + ๐))) | |
16 | fvoveq1 7437 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) | |
17 | 15, 16 | ifbieq1d 4548 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ท + ๐) โ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
18 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) = (๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 )) | |
19 | fvex 6904 | . . . . . 6 โข ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) โ V | |
20 | 1 | fvexi 6905 | . . . . . 6 โข 0 โ V |
21 | 19, 20 | ifex 4574 | . . . . 5 โข if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) โ V |
22 | 17, 18, 21 | fvmpt 6999 | . . . 4 โข ((๐ท + ๐) โ โ0 โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
23 | 14, 22 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 )) |
24 | 10 | nn0red 12549 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
25 | nn0addge1 12534 | . . . . 5 โข ((๐ท โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) | |
26 | 24, 13, 25 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โค (๐ท + ๐)) |
27 | 26 | iftrued 4532 | . . 3 โข (๐ โ if(๐ท โค (๐ท + ๐), ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)), 0 ) = ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท))) |
28 | 10 | nn0cnd 12550 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
29 | 13 | nn0cnd 12550 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
30 | 28, 29 | pncan2d 11589 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท + ๐) โ ๐ท) = ๐) |
31 | 30 | fveq2d 6895 | . . 3 โข (๐ โ ((coe1โ๐ด)โ((๐ท + ๐) โ ๐ท)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
32 | 23, 27, 31 | 3eqtrd 2771 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ โ0 โฆ if(๐ท โค ๐ฅ, ((coe1โ๐ด)โ(๐ฅ โ ๐ท)), 0 ))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
33 | 12, 32 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ ((coe1โ((๐ท โ ๐) ยท ๐ด))โ(๐ท + ๐)) = ((coe1โ๐ด)โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 ifcif 4524 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 โcr 11123 + caddc 11127 โค cle 11265 โ cmin 11460 โ0cn0 12488 Basecbs 17165 .rcmulr 17219 0gc0g 17406 .gcmg 19007 mulGrpcmgp 20058 Ringcrg 20157 var1cv1 22069 Poly1cpl1 22070 coe1cco1 22071 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7677 df-ofr 7678 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8716 df-map 8836 df-pm 8837 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-sup 9451 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-seq 13985 df-hash 14308 df-struct 17101 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-ress 17195 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-hom 17242 df-cco 17243 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-prds 17414 df-pws 17416 df-mre 17551 df-mrc 17552 df-acs 17554 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-mhm 18725 df-submnd 18726 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-sbg 18880 df-mulg 19008 df-subg 19062 df-ghm 19152 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-abl 19722 df-mgp 20059 df-rng 20077 df-ur 20106 df-ring 20159 df-subrng 20465 df-subrg 20490 df-lmod 20727 df-lss 20798 df-psr 21822 df-mvr 21823 df-mpl 21824 df-opsr 21826 df-psr1 22073 df-vr1 22074 df-ply1 22075 df-coe1 22076 |
This theorem is referenced by: hbtlem4 42462 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |