Theorem coe1pwmulfv 21549

Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1pwmulfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmulfv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

Proof of Theorem coe1pwmulfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1pwmul.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1pwmul.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1pwmul.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
5		coe1pwmul.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		coe1pwmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		coe1pwmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		coe1pwmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		coe1pwmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		coe1pwmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1pwmul 21548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
12	11	fveq1d 6821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
13		coe1pwmulfv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0addcld 12390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
15		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
16		fvoveq1 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
17	15, 16	ifbieq1d 4496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
19		fvex 6832	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) ∈ V
20	1	fvexi 6833	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
21	19, 20	ifex 4522	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) ∈ V
22	17, 18, 21	fvmpt 6925	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
23	14, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
24	10	nn0red 12387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
25		nn0addge1 12372	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
26	24, 13, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
27	26	iftrued 4480	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
28	10	nn0cnd 12388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	13	nn0cnd 12388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
30	28, 29	pncan2d 11427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
31	30	fveq2d 6823	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
32	23, 27, 31	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
33	12, 32	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℝcr 10963   + caddc 10967   ≤ cle 11103   − cmin 11298  ℕ₀cn0 12326  Basecbs 17001  ._rcmulr 17052  0_gc0g 17239  ._gcmg 18788  mulGrpcmgp 19807  Ringcrg 19870  var₁cv1 21445  Poly₁cpl1 21446  coe₁cco1 21447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-tset 17070  df-ple 17071  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-vr1 21450  df-ply1 21451  df-coe1 21452

This theorem is referenced by:  hbtlem4  41202