Theorem coe1pwmulfv 22271

Description: Function value of a right-multiplication by a variable power in the shifted domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1pwmulfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmulfv	⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

Proof of Theorem coe1pwmulfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		coe1pwmul.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1pwmul.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1pwmul.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
5		coe1pwmul.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
6		coe1pwmul.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		coe1pwmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8		coe1pwmul.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		coe1pwmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		coe1pwmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1pwmul 22270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
12	11	fveq1d 6903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)))
13		coe1pwmulfv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
14	10, 13	nn0addcld 12588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0)
15		breq2 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌)))
16		fvoveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
17	15, 16	ifbieq1d 4557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐷 + 𝑌) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
18		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
19		fvex 6914	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) ∈ V
20	1	fvexi 6915	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
21	19, 20	ifex 4583	. . . . 5 ⊢ if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) ∈ V
22	17, 18, 21	fvmpt 7009	. . . 4 ⊢ ((𝐷 + 𝑌) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
23	14, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ))
24	10	nn0red 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
25		nn0addge1 12570	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
26	24, 13, 25	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌))
27	26	iftrued 4541	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑌), ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)), 0 ) = ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)))
28	10	nn0cnd 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	13	nn0cnd 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
30	28, 29	pncan2d 11623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝑌) − 𝐷) = 𝑌)
31	30	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐴)‘((𝐷 + 𝑌) − 𝐷)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
32	23, 27, 31	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))
33	12, 32	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴))‘(𝐷 + 𝑌)) = ((coe1‘𝐴)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4533   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157   + caddc 11161   ≤ cle 11299   − cmin 11494  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213  ._rcmulr 17267  0_gc0g 17454  ._gcmg 19061  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  var₁cv1 22165  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172

This theorem is referenced by:  hbtlem4  42787