| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 ·
0)) |
| 2 | | 2t0e0 12435 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 0) = 0 |
| 3 | 1, 2 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0) |
| 4 | 3 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + 0)) |
| 5 | 4 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 0 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) |
| 6 | 5 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 0 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)))) |
| 7 | 6 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 0 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 8 | 7 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 9 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛)) |
| 10 | 9 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝑛))) |
| 11 | 10 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) |
| 12 | 11 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))) |
| 13 | 12 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 14 | 13 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 15 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑛 + 1))) |
| 16 | 15 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) |
| 17 | 16 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) |
| 18 | 17 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))) |
| 19 | 18 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 20 | 19 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 21 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝐾 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝐾)) |
| 22 | 21 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 + (2 · 𝑥)) = (𝑁 + (2 · 𝐾))) |
| 23 | 22 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) |
| 24 | 23 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))) |
| 25 | 24 | breq1d 5153 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 26 | 25 | imbi2d 340 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑥)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 27 | | iseralt.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
| 28 | | uzssz 12899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ |
| 29 | 27, 28 | eqsstri 4030 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑍 ⊆
ℤ |
| 30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ) |
| 31 | 30 | sselda 3983 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 32 | 31 | zcnd 12723 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 33 | 32 | addridd 11461 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝑁 + 0) = 𝑁) |
| 34 | 33 | fveq2d 6910 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) |
| 35 | 34 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) |
| 36 | | neg1rr 12381 |
. . . . . . . 8
⊢ -1 ∈
ℝ |
| 37 | | neg1ne0 12382 |
. . . . . . . 8
⊢ -1 ≠
0 |
| 38 | | reexpclz 14123 |
. . . . . . . 8
⊢ ((-1
∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈
ℝ) |
| 39 | 36, 37, 31, 38 | mp3an12i 1467 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ) |
| 40 | | iseralt.2 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 41 | | iseralt.6 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘))) |
| 42 | 30 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 43 | | reexpclz 14123 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((-1
∈ ℝ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈
ℝ) |
| 44 | 36, 37, 42, 43 | mp3an12i 1467 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ) |
| 45 | | iseralt.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ) |
| 46 | 45 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) |
| 47 | 44, 46 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ) |
| 48 | 41, 47 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) |
| 49 | 27, 40, 48 | serfre 14072 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ) |
| 50 | 49 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ) |
| 51 | 39, 50 | remulcld 11291 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) |
| 52 | 51 | leidd 11829 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) |
| 53 | 35, 52 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 0))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) |
| 54 | 45 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ) |
| 55 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 56 | 55 | 2timesi 12404 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (2
· 1) = (1 + 1) |
| 57 | 56 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)) |
| 58 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ 𝑍) |
| 59 | 58, 27 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
| 60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 61 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 63 | 62 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 64 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 65 | | nn0cn 12536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ 𝑛 ∈
ℂ) |
| 66 | 65 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈
ℂ) |
| 67 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ 𝑛
∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ) |
| 68 | 64, 66, 67 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑛) ∈
ℂ) |
| 69 | 64, 55 | mulcli 11268 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· 1) ∈ ℂ |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· 1) ∈ ℂ) |
| 71 | 63, 68, 70 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (2 · 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 ·
1)))) |
| 72 | 57, 71 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1)) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 ·
1)))) |
| 73 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 74 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈
ℕ0) |
| 75 | | nn0mulcl 12562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑛) ∈
ℕ0) |
| 76 | 73, 74, 75 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑛) ∈
ℕ0) |
| 77 | | uzaddcl 12946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 78 | 60, 76, 77 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 79 | 28, 78 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
ℤ) |
| 80 | 79 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
ℂ) |
| 81 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
| 82 | 80, 81, 81 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + (1 + 1))) |
| 83 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈
ℂ) |
| 84 | 83, 66, 81 | adddid 11285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· (𝑛 + 1)) = ((2
· 𝑛) + (2 ·
1))) |
| 85 | 84 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) = (𝑁 + ((2 · 𝑛) + (2 · 1)))) |
| 86 | 72, 82, 85 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) = (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) |
| 87 | | peano2nn0 12566 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ (𝑛 + 1) ∈
ℕ0) |
| 88 | 87 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 1) ∈
ℕ0) |
| 89 | | nn0mulcl 12562 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((2
∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ0) → (2
· (𝑛 + 1)) ∈
ℕ0) |
| 90 | 73, 88, 89 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· (𝑛 + 1)) ∈
ℕ0) |
| 91 | | uzaddcl 12946 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0) →
(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 92 | 60, 90, 91 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 93 | 92, 27 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))) ∈ 𝑍) |
| 94 | 86, 93 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍) |
| 95 | 54, 94 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
| 96 | | peano2uz 12943 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
(ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 97 | 78, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
| 98 | 97, 27 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍) |
| 99 | 54, 98 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ) |
| 100 | 95, 99 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ) |
| 101 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℝ) |
| 102 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑𝑁) ∈
ℝ) |
| 103 | 49 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ) |
| 104 | 78, 27 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ 𝑍) |
| 105 | 103, 104 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℝ) |
| 106 | 102, 105 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ) |
| 107 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 108 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 109 | 107, 108 | breq12d 5156 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 110 | | iseralt.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘)) |
| 111 | 110 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘)) |
| 112 | 111 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘)) |
| 113 | 109, 112,
98 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 114 | 95, 99 | suble0d 11854 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0 ↔ (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 115 | 113, 114 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ≤ 0) |
| 116 | 100, 101,
106, 115 | leadd2dd 11878 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0)) |
| 117 | | seqp1 14057 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 118 | 97, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 119 | | seqp1 14057 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 120 | 78, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 121 | 120 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 122 | 118, 121 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 123 | 86 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) |
| 124 | 105 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) ∈ ℂ) |
| 125 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 126 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 127 | 126, 108 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 128 | 125, 127 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))) |
| 129 | 41 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘))) |
| 130 | 129 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘))) |
| 131 | 128, 130,
98 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 132 | | neg1cn 12380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -1 ∈
ℂ |
| 133 | 132 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈
ℂ) |
| 134 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ≠
0) |
| 135 | 133, 134,
79 | expp1zd 14195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1)) =
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) ·
-1)) |
| 136 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈
ℝ) |
| 137 | 136, 134,
79 | reexpclzd 14288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) ∈
ℝ) |
| 138 | 137 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) ∈
ℂ) |
| 139 | | mulcom 11241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((-1↑(𝑁 + (2
· 𝑛))) ∈
ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = (-1 ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))))) |
| 140 | 138, 132,
139 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · -1) = (-1
· (-1↑(𝑁 + (2
· 𝑛))))) |
| 141 | 138 | mulm1d 11715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1
· (-1↑(𝑁 + (2
· 𝑛)))) =
-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) |
| 142 | 135, 140,
141 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1)) =
-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) |
| 143 | 142 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 144 | 99 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) |
| 145 | | mulneg12 11701 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((-1↑(𝑁 + (2
· 𝑛))) ∈
ℂ ∧ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) →
(-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 146 | 138, 144,
145 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 147 | 131, 143,
146 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 148 | 99 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ) |
| 149 | 137, 148 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ) |
| 150 | 147, 149 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ) |
| 151 | 150 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) |
| 152 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 153 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 154 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 155 | 153, 154 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 156 | 152, 155 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = (((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 157 | 156, 130,
94 | rspcdva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 158 | 79 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) ∈
ℤ) |
| 159 | 133, 134,
158 | expp1zd 14195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1) + 1)) =
((-1↑((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1)) ·
-1)) |
| 160 | 142 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1)) · -1) =
(-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) ·
-1)) |
| 161 | | mul2neg 11702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((-1↑(𝑁 + (2
· 𝑛))) ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) ·
1)) |
| 162 | 138, 55, 161 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · -1) =
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) ·
1)) |
| 163 | 138 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · 1) =
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) |
| 164 | 162, 163 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · -1) =
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) |
| 165 | 159, 160,
164 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(((𝑁 + (2 ·
𝑛)) + 1) + 1)) =
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) |
| 166 | 165 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑(((𝑁 + (2
· 𝑛)) + 1) + 1))
· (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) =
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 167 | 157, 166 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 168 | 137, 95 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈
ℝ) |
| 169 | 167, 168 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
| 170 | 169 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈
ℂ) |
| 171 | 124, 151,
170 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 172 | 122, 123,
171 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 173 | 172 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))) |
| 174 | 102 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑𝑁) ∈
ℂ) |
| 175 | 150, 169 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈
ℝ) |
| 176 | 175 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) ∈
ℂ) |
| 177 | 174, 124,
176 | adddid 11285 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))) + ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))))) |
| 178 | 174, 151,
170 | adddid 11285 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (((-1↑𝑁) · (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 179 | 147 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))) |
| 180 | 148 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) |
| 181 | 174, 138,
180 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))) |
| 182 | 179, 181 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 183 | 83, 63, 66 | adddid 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· (𝑁 + 𝑛)) = ((2 · 𝑁) + (2 · 𝑛))) |
| 184 | 63 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
| 185 | 184 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2
· 𝑁) + (2 ·
𝑛)) = ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛))) |
| 186 | 63, 63, 68 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑁) + (2 · 𝑛)) = (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) |
| 187 | 183, 185,
186 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛))) = (2 · (𝑁 + 𝑛))) |
| 188 | 187 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = (-1↑(2 ·
(𝑁 + 𝑛)))) |
| 189 | | expaddz 14147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (2 · 𝑛)) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))) |
| 190 | 133, 134,
62, 79, 189 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 · 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) · (-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))))) |
| 191 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 192 | 191 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈
ℤ) |
| 193 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ 𝑛 ∈
ℤ) |
| 194 | | zaddcl 12657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ) |
| 195 | 31, 193, 194 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ) |
| 196 | | expmulz 14149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ)) → (-1↑(2
· (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛))) |
| 197 | 133, 134,
192, 195, 196 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(2 · (𝑁 +
𝑛))) =
((-1↑2)↑(𝑁 +
𝑛))) |
| 198 | | neg1sqe1 14235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(-1↑2) = 1 |
| 199 | 198 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((-1↑2)↑(𝑁
+ 𝑛)) = (1↑(𝑁 + 𝑛)) |
| 200 | | 1exp 14132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑁 + 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1) |
| 201 | 195, 200 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1) |
| 202 | 199, 201 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑2)↑(𝑁 +
𝑛)) = 1) |
| 203 | 197, 202 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(-1↑(2 · (𝑁 +
𝑛))) = 1) |
| 204 | 188, 190,
203 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) = 1) |
| 205 | 204 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = (1 · -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 206 | 180 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1
· -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 207 | 182, 205,
206 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) |
| 208 | 167 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 209 | 95 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) ∈
ℂ) |
| 210 | 174, 138,
209 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑(𝑁 + (2 · 𝑛))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) |
| 211 | 208, 210 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) =
(((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 212 | 204 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(-1↑(𝑁 + (2 ·
𝑛)))) · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (1 · (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 213 | 209 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (1
· (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 214 | 211, 212,
213 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) |
| 215 | 207, 214 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) · (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) |
| 216 | 144 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) ∈ ℂ) |
| 217 | 216, 209 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 218 | 209, 144 | negsubd 11626 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) + -(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 219 | 217, 218 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 220 | 178, 215,
219 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)))) = ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) |
| 221 | 220 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) · ((𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)) + (𝐹‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1))))) |
| 222 | 173, 177,
221 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + ((𝐺‘(((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1) + 1)) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝑛)) + 1)))) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))))) |
| 223 | 106 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℂ) |
| 224 | 223 | addridd 11461 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) + 0) = ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))) |
| 225 | 116, 222,
224 | 3brtr3d 5174 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛))))) |
| 226 | 103, 93 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ) |
| 227 | 102, 226 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ) |
| 228 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) |
| 229 | | letr 11355 |
. . . . . . . 8
⊢
((((-1↑𝑁)
· (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 230 | 227, 106,
228, 229 | syl3anc 1373 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
((((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 231 | 225, 230 | mpand 695 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 232 | 231 | expcom 413 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 233 | 232 | a2d 29 |
. . . 4
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝑛)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · (𝑛 + 1))))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))) |
| 234 | 8, 14, 20, 26, 53, 233 | nn0ind 12713 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 235 | 234 | com12 32 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ0 →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) |
| 236 | 235 | 3impia 1118 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) →
((-1↑𝑁) ·
(seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) |