MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseraltlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iseraltlem2 15573
Description: Lemma for iseralt 15575. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example 𝑆(1) ≀ 𝑆(3) ≀ 𝑆(5) ≀ ... and ... ≀ 𝑆(4) ≀ 𝑆(2) ≀ 𝑆(0) (assuming 𝑀 = 0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iseralt.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iseralt.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
iseralt.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
iseralt.5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 0))
2 2t0e0 12327 . . . . . . . . . 10 (2 Β· 0) = 0
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (2 Β· π‘₯) = 0)
43oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑁 + (2 Β· π‘₯)) = (𝑁 + 0))
54fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0)))
65oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0))))
76breq1d 5116 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ↔ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
87imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
9 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝑛))
109oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑁 + (2 Β· π‘₯)) = (𝑁 + (2 Β· 𝑛)))
1110fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
1211oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
1312breq1d 5116 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ↔ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
1413imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
15 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· (𝑛 + 1)))
1615oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑁 + (2 Β· π‘₯)) = (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))
1716fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1)))))
1817oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))))
1918breq1d 5116 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ↔ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
2019imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
21 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (2 Β· π‘₯) = (2 Β· 𝐾))
2221oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (𝑁 + (2 Β· π‘₯)) = (𝑁 + (2 Β· 𝐾)))
2322fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾))))
2423oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐾 β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))))
2524breq1d 5116 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ↔ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
2625imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 𝐾 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· π‘₯)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
27 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
28 uzssz 12789 . . . . . . . . . . . 12 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
2927, 28eqsstri 3979 . . . . . . . . . . 11 𝑍 βŠ† β„€
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„€)
3130sselda 3945 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3231zcnd 12613 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3332addid1d 11360 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (𝑁 + 0) = 𝑁)
3433fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
3534oveq2d 7374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
36 neg1rr 12273 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
37 neg1ne0 12274 . . . . . . . 8 -1 β‰  0
38 reexpclz 13994 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
3936, 37, 31, 38mp3an12i 1466 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
40 iseralt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
41 iseralt.6 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
4230sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
43 reexpclz 13994 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 β‰  0 ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
4436, 37, 42, 43mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
45 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
4645ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4744, 46remulcld 11190 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
4841, 47eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4927, 40, 48serfre 13943 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
5049ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
5139, 50remulcld 11190 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ ℝ)
5251leidd 11726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
5335, 52eqbrtrd 5128 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + 0))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
5445ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
55 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
56552timesi 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· 1) = (1 + 1)
5756oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + (2 Β· 1)) = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + (1 + 1))
58 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
5958, 27eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
61 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6362zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
64 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„‚
65 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
67 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
6864, 66, 67sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
6964, 55mulcli 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· 1) ∈ β„‚
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
7163, 68, 70addassd 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + (2 Β· 1)) = (𝑁 + ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1))))
7257, 71eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + (1 + 1)) = (𝑁 + ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1))))
73 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„•0
74 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
75 nn0mulcl 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
7673, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
77 uzaddcl 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7860, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7928, 78sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ β„€)
8079zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ β„‚)
81 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
8280, 81, 81addassd 11182 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + (1 + 1)))
83 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
8483, 66, 81adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) = ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1)))
8584oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))) = (𝑁 + ((2 Β· 𝑛) + (2 Β· 1))))
8672, 82, 853eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) = (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))
87 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
89 nn0mulcl 12454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•0)
9073, 88, 89sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•0)
91 uzaddcl 12834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (2 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9260, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9392, 27eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))) ∈ 𝑍)
9486, 93eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) ∈ 𝑍)
9554, 94ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
96 peano2uz 12831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9778, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9897, 27eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) ∈ 𝑍)
9954, 98ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
10095, 99resubcld 11588 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
101 0red 11163 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ ℝ)
10239adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
10349ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
10478, 27eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ 𝑍)
105103, 104ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ ℝ)
106102, 105remulcld 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ∈ ℝ)
107 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
108 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
109107, 108breq12d 5119 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜) ↔ (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ≀ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
110 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
111110ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΊβ€˜π‘˜))
113109, 112, 98rspcdva 3581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ≀ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
11495, 99suble0d 11751 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) ≀ 0 ↔ (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ≀ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
115113, 114mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) ≀ 0)
116100, 101, 106, 115leadd2dd 11775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))) ≀ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + 0))
117 seqp1 13927 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
11897, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
119 seqp1 13927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
12078, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
121120oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
122118, 121eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
12386fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1)))))
124105recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ β„‚)
125 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
126 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ (-1β†‘π‘˜) = (-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
127126, 108oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) = ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
128125, 127eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))))
12941ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
131128, 130, 98rspcdva 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
132 neg1cn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ β„‚
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -1 ∈ β„‚)
13437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -1 β‰  0)
135133, 134, 79expp1zd 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1))
13636a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -1 ∈ ℝ)
137136, 134, 79reexpclzd 14158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ ℝ)
138137recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ β„‚)
139 mulcom 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1) = (-1 Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
140138, 132, 139sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1) = (-1 Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
141138mulm1d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1 Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) = -(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
142135, 140, 1413eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = -(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
143142oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
14499recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ β„‚)
145 mulneg12 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ β„‚) β†’ (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
146138, 144, 145syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
147131, 143, 1463eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
14899renegcld 11587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
149137, 148remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) ∈ ℝ)
150147, 149eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ ℝ)
151150recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ β„‚)
152 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
153 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) β†’ (-1β†‘π‘˜) = (-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
154 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
155153, 154oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) β†’ ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
156152, 155eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
157156, 130, 94rspcdva 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
15879peano2zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) ∈ β„€)
159133, 134, 158expp1zd 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· -1))
160142oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) Β· -1) = (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1))
161 mul2neg 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· 1))
162138, 55, 161sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· 1))
163138mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· 1) = (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
164162, 163eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-(-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -1) = (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
165159, 160, 1643eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
166165oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
167157, 166eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
168137, 95remulcld 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
169167, 168eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
170169recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ β„‚)
171124, 151, 170addassd 11182 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
172122, 123, 1713eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
173172oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) = ((-1↑𝑁) Β· ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))))
174102recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑁) ∈ β„‚)
175150, 169readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ ℝ)
176175recnd 11188 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) ∈ β„‚)
177174, 124, 176adddid 11184 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) + ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) Β· ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))))
178174, 151, 170adddid 11184 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))) = (((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
179147oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) Β· ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))))
180148recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ β„‚)
181174, 138, 180mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = ((-1↑𝑁) Β· ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))))
182179, 181eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
18383, 63, 66adddid 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑁 + 𝑛)) = ((2 Β· 𝑁) + (2 Β· 𝑛)))
184632timesd 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
185184oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑁) + (2 Β· 𝑛)) = ((𝑁 + 𝑁) + (2 Β· 𝑛)))
18663, 63, 68addassd 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 𝑁) + (2 Β· 𝑛)) = (𝑁 + (𝑁 + (2 Β· 𝑛))))
187183, 185, 1863eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + (𝑁 + (2 Β· 𝑛))) = (2 Β· (𝑁 + 𝑛)))
188187oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) = (-1↑(2 Β· (𝑁 + 𝑛))))
189 expaddz 14018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + (2 Β· 𝑛)) ∈ β„€)) β†’ (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
190133, 134, 62, 79, 189syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝑁 + (𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) = ((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
191 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„€
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
193 nn0z 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
194 zaddcl 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 𝑛) ∈ β„€)
19531, 193, 194syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 𝑛) ∈ β„€)
196 expmulz 14020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0) ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 𝑛) ∈ β„€)) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
197133, 134, 192, 195, 196syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑁 + 𝑛))) = ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)))
198 neg1sqe1 14106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1↑2) = 1
199198oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = (1↑(𝑁 + 𝑛))
200 1exp 14003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 𝑛) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
201195, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
202199, 201eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑2)↑(𝑁 + 𝑛)) = 1)
203197, 202eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑁 + 𝑛))) = 1)
204188, 190, 2033eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) = 1)
205204oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = (1 Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
206180mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
207182, 205, 2063eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))
208167oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) Β· ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
20995recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) ∈ β„‚)
210174, 138, 209mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((-1↑𝑁) Β· ((-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))))
211208, 210eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
212204oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (-1↑(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = (1 Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
213209mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
214211, 212, 2133eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))
215207, 214oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) + ((-1↑𝑁) Β· (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))) = (-(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))
216144negcld 11504 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) ∈ β„‚)
217216, 209addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) + -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
218209, 144negsubd 11523 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) + -(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))) = ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
219217, 218eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-(πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))) = ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
220178, 215, 2193eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)))) = ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1))))
221220oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + ((-1↑𝑁) Β· ((πΉβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)) + (πΉβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1))))) = (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))))
222173, 177, 2213eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + ((πΊβ€˜(((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1) + 1)) βˆ’ (πΊβ€˜((𝑁 + (2 Β· 𝑛)) + 1)))) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))))
223106recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ∈ β„‚)
224223addid1d 11360 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) + 0) = ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
225116, 222, 2243brtr3d 5137 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))))
226103, 93ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
227102, 226remulcld 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
22851adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ ℝ)
229 letr 11254 . . . . . . . 8 ((((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ∈ ℝ ∧ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ ℝ) β†’ ((((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
230227, 106, 228, 229syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ∧ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
231225, 230mpand 694 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
232231expcom 415 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
233232a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝑛)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· (𝑛 + 1))))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))))
2348, 14, 20, 26, 53, 233nn0ind 12603 . . 3 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
235234com12 32 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))))
2362353impia 1118 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑁 + (2 Β· 𝐾)))) ≀ ((-1↑𝑁) Β· (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  seqcseq 13912  β†‘cexp 13973   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  15574
  Copyright terms: Public domain W3C validator