Theorem leibpisum 27117

Description: The Leibniz formula for π. This version of leibpi 27116 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leibpisum	⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Proof of Theorem leibpisum

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12904	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12607	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (-1↑𝑘) = (-1↑𝑛))
4		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
5	4	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
6	3, 5	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
8		ovex 7443	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6989	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
10	9	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
11		neg1rr 12208	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
12		reexpcl 14119	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
14		2nn0 12525	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12544	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17		nn0p1nn 12547	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
19	13, 18	nndivred 12294	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11241	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
22	7	leibpi 27116	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4))
24	1, 2, 10, 21, 23	isumclim 15813	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4))
25	24	mptru 1577	1 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109  -cneg 11446   / cdiv 11875  ℕcn 12237  2c2 12299  4c4 12301  ℕ₀cn0 12508  seqcseq 14042  ↑cexp 14102   ⇝ cli 15540  Σcsu 15742  πcpi 16124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-tan 16129  df-pi 16130  df-dvds 16315  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-t1 23480  df-haus 23481  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035  df-ulm 26549  df-log 26730  df-atan 27041

This theorem is used by: (None)