MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpisum 26893
Description: The Leibniz formula for ฯ€. This version of leibpi 26892 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpisum ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (ฯ€ / 4)

Proof of Theorem leibpisum
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12894 . . 3 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12600 . . 3 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 oveq2 7424 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘๐‘›))
4 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘›))
54oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + 1) = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
63, 5oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)) = ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
7 eqid 2725 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))
8 ovex 7449 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 7000 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))โ€˜๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
109adantl 480 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))โ€˜๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
11 neg1rr 12357 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„
12 reexpcl 14075 . . . . . . 7 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
1311, 12mpan 688 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
14 2nn0 12519 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
15 nn0mulcl 12538 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
1614, 15mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
17 nn0p1nn 12541 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•)
1913, 18nndivred 12296 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11272 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
2120adantl 480 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โˆˆ โ„‚)
227leibpi 26892 . . . 4 seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) โ‡ (ฯ€ / 4)
2322a1i 11 . . 3 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((-1โ†‘๐‘˜) / ((2 ยท ๐‘˜) + 1)))) โ‡ (ฯ€ / 4))
241, 2, 10, 21, 23isumclim 15735 . 2 (โŠค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (ฯ€ / 4))
2524mptru 1540 1 ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((-1โ†‘๐‘›) / ((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (ฯ€ / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  -cneg 11475   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  4c4 12299  โ„•0cn0 12502  seqcseq 13998  โ†‘cexp 14058   โ‡ cli 15460  ฮฃcsu 15664  ฯ€cpi 16042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-t1 23236  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ulm 26331  df-log 26508  df-atan 26817
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator