Theorem leibpisum 26971

Description: The Leibniz formula for π. This version of leibpi 26970 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leibpisum	⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Proof of Theorem leibpisum

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12916	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12622	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (-1↑𝑘) = (-1↑𝑛))
4		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
5	4	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
6	3, 5	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
8		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 7009	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
10	9	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
11		neg1rr 12379	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
12		reexpcl 14098	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
14		2nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12560	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17		nn0p1nn 12563	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
19	13, 18	nndivred 12318	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
22	7	leibpi 26970	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4))
24	1, 2, 10, 21, 23	isumclim 15761	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4))
25	24	mptru 1541	1 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Syntax hints:   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  -cneg 11495   / cdiv 11921  ℕcn 12264  2c2 12319  4c4 12321  ℕ₀cn0 12524  seqcseq 14021  ↑cexp 14081   ⇝ cli 15486  Σcsu 15690  πcpi 16068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-dvds 16257  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-t1 23309  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-ulm 26406  df-log 26583  df-atan 26895

This theorem is referenced by: (None)