Theorem leibpisum 26926

Description: The Leibniz formula for π. This version of leibpi 26925 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leibpisum	⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Proof of Theorem leibpisum

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12803	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12514	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (-1↑𝑘) = (-1↑𝑛))
4		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
5	4	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
6	3, 5	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
8		ovex 7403	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6951	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
11		neg1rr 12145	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
12		reexpcl 14015	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
14		2nn0 12432	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12451	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17		nn0p1nn 12454	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
19	13, 18	nndivred 12213	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11174	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
22	7	leibpi 26925	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4))
24	1, 2, 10, 21, 23	isumclim 15694	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4))
25	24	mptru 1549	1 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045  -cneg 11379   / cdiv 11808  ℕcn 12159  2c2 12214  4c4 12216  ℕ₀cn0 12415  seqcseq 13938  ↑cexp 13998   ⇝ cli 15421  Σcsu 15623  πcpi 16003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-tan 16008  df-pi 16009  df-dvds 16194  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-t1 23275  df-haus 23276  df-cmp 23348  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-limc 25840  df-dv 25841  df-ulm 26359  df-log 26538  df-atan 26850

This theorem is referenced by: (None)