Theorem leibpisum 27212

Description: The Leibniz formula for π. This version of leibpi 27211 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leibpisum	⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

Proof of Theorem leibpisum

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12950	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12652	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (-1↑𝑘) = (-1↑𝑛))
4		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
5	4	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
6	3, 5	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))
8		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6989	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))‘𝑛) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
11		neg1rr 12253	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
12		reexpcl 14167	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
14		2nn0 12570	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
17		nn0p1nn 12592	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
19	13, 18	nndivred 12339	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11286	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
22	7	leibpi 27211	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))) ⇝ (π / 4))
24	1, 2, 10, 21, 23	isumclim 15868	. 2 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4))
25	24	mptru 1577	1 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (π / 4)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  -cneg 11491   / cdiv 11920  ℕcn 12282  2c2 12344  4c4 12346  ℕ₀cn0 12553  seqcseq 14090  ↑cexp 14150   ⇝ cli 15596  Σcsu 15798  πcpi 16177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-shft 15165  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-limsup 15583  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-ef 16178  df-sin 16180  df-cos 16181  df-tan 16182  df-pi 16183  df-dvds 16368  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-t1 23571  df-haus 23572  df-cmp 23644  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126  df-ulm 26645  df-log 26825  df-atan 27136

This theorem is used by: (None)