Theorem nznngen 44312

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nznngen	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 44311	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
2		relimasn 6105	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
4	3	ineq1i 4224	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
5		dfrab2 4326	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
6	4, 5	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
7	6	eleq2i 2831	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
8		rabid 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥))
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnz 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11		absdvdsb 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13		zabscl 15349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
16	14, 15	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
17	12, 16	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
18	17	impr 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
19	8, 18	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
20	8	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22		eluz 12890	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
23	14, 21, 22	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
25	7, 24	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁))))
27	26	ssrdv 4001	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   “ cima 5692  Rel wrel 5694  ‘cfv 6563   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  abscabs 15270   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288

This theorem is referenced by: (None)