Theorem nznngen 44953

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nznngen	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 44952	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
2		relimasn 6088	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
4	3	ineq1i 4175	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
5		dfrab2 4279	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
6	4, 5	eqtr4i 2795	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
7	6	eleq2i 2861	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
8		rabid 3443	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥))
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnz 12612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11		absdvdsb 16332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13		zabscl 15364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
14	9, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
16	14, 15	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
17	12, 16	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
18	17	impr 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
19	8, 18	sylan2b 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
20	8	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22		eluz 12876	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
23	14, 21, 22	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
25	7, 24	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
26	25	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁))))
27	26	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  {crab 3422   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  {csn 4592   class class class wbr 5111   “ cima 5665  Rel wrel 5667  ‘cfv 6537   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  abscabs 15285   ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311

This theorem is referenced by: (None)