Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nznngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nznngen 42577
Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nznngen.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
nznngen (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldvds 42576 . . . . . . . 8 Rel ∥
2 relimasn 6036 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
43ineq1i 4168 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
5 dfrab2 4270 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
64, 5eqtr4i 2767 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}
76eleq2i 2829 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥})
8 rabid 3427 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥))
9 nznngen.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 nnz 12519 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11 absdvdsb 16156 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
129, 10, 11syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13 zabscl 15197 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15 dvdsle 16191 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1614, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1712, 16sylbid 239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1817impr 455 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
198, 18sylan2b 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
208simplbi 498 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 12525 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22 eluz 12776 . . . . . 6 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2314, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2419, 23mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
257, 24sylan2b 594 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
2625ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁))))
2726ssrdv 3950 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cima 5636  Rel wrel 5638  cfv 6496  cle 11189  cn 12152  cz 12498  cuz 12762  abscabs 15118  cdvds 16135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-dvds 16136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator