Theorem nznngen 44897

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nznngen	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 44896	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
2		relimasn 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
4	3	ineq1i 4170	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
5		dfrab2 4274	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
6	4, 5	eqtr4i 2790	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
7	6	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
8		rabid 3437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥))
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnz 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11		absdvdsb 16310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13		zabscl 15342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
16	14, 15	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
17	12, 16	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
18	17	impr 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
19	8, 18	sylan2b 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
20	8	simplbi 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22		eluz 12855	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
23	14, 21, 22	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
25	7, 24	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
26	25	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁))))
27	26	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {cab 2742  {crab 3416   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4584   class class class wbr 5102   “ cima 5652  Rel wrel 5654  ‘cfv 6523   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  abscabs 15263   ∥ cdvds 16288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289

This theorem is referenced by: (None)