Theorem nznngen 44775

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nznngen	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 44774	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
2		relimasn 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
4	3	ineq1i 4148	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
5		dfrab2 4251	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
6	4, 5	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
7	6	eleq2i 2833	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
8		rabid 3414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥))
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnz 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11		absdvdsb 16238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2an 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13		zabscl 15270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15		dvdsle 16274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
16	14, 15	sylan 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
17	12, 16	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
18	17	impr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
19	8, 18	sylan2b 601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
20	8	simplbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22		eluz 12797	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
23	14, 21, 22	syl2an 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
25	7, 24	sylan2b 601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
26	25	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁))))
27	26	ssrdv 3923	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719  {crab 3393   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4558   class class class wbr 5075   “ cima 5624  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  abscabs 15191   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217

This theorem is referenced by: (None)