Theorem oppcthin 49786

Description: The opposite category of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcthin.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcthin	⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem oppcthin

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthin.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17653	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
7		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
8		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10	6, 7, 8, 2, 9	thincmo 49776	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
11	9, 1	oppchom 17650	. . . . 5 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)
12	11	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
13	12	mobii 2549	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦))
15		thincc 49770	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝐶 ∈ Cat)
16	1	oppccat 17657	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ Cat)
18	4, 5, 14, 17	isthincd 49784	1 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Hom chom 17200  Catccat 17599  oppCatcoppc 17646  ThinCatcthinc 49765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-oppc 17647  df-thinc 49766

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49914