Theorem oppcthin 49719

Description: The opposite category of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcthin.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcthin	⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem oppcthin

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthin.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17645	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
7		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
8		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10	6, 7, 8, 2, 9	thincmo 49709	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
11	9, 1	oppchom 17642	. . . . 5 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)
12	11	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
13	12	mobii 2549	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦))
15		thincc 49703	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝐶 ∈ Cat)
16	1	oppccat 17649	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ Cat)
18	4, 5, 14, 17	isthincd 49717	1 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2538  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Hom chom 17192  Catccat 17591  oppCatcoppc 17638  ThinCatcthinc 49698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-hom 17205  df-cco 17206  df-cat 17595  df-cid 17596  df-oppc 17639  df-thinc 49699

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49847