Theorem oppcthin 46281

Description: The opposite category of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcthin.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcthin	⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem oppcthin

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthin.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17418	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂))
6		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
7		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
8		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10	6, 7, 8, 2, 9	thincmo 46271	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
11	9, 1	oppchom 17415	. . . . 5 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)
12	11	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
13	12	mobii 2550	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦))
15		thincc 46266	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝐶 ∈ Cat)
16	1	oppccat 17423	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ Cat)
18	4, 5, 14, 17	isthincd 46279	1 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2540  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16902  Hom chom 16963  Catccat 17363  oppCatcoppc 17410  ThinCatcthinc 46261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-hom 16976  df-cco 16977  df-cat 17367  df-cid 17368  df-oppc 17411  df-thinc 46262

This theorem is referenced by: (None)