Theorem oppcthin 49433

Description: The opposite category of a thin category is thin. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcthin.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcthin	⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Proof of Theorem oppcthin

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcthin.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17624	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂))
6		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ ThinCat)
7		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
8		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10	6, 7, 8, 2, 9	thincmo 49423	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
11	9, 1	oppchom 17621	. . . . 5 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) = (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)
12	11	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
13	12	mobii 2541	. . 3 ⊢ (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦) ↔ ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ThinCat ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑂)𝑦))
15		thincc 49417	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝐶 ∈ Cat)
16	1	oppccat 17628	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ Cat)
18	4, 5, 14, 17	isthincd 49431	1 ⊢ (𝐶 ∈ ThinCat → 𝑂 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  Hom chom 17172  Catccat 17570  oppCatcoppc 17617  ThinCatcthinc 49412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-oppc 17618  df-thinc 49413

This theorem is referenced by:  oduoppcciso  49561