Theorem rngridlmcl 21076

Description: A right ideal (which is a left ideal over the opposite ring) containing the zero element is closed under right-multiplication by elements of the full non-unital ring. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngridlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngridlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rngridlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rnglidlmcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2726	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2726	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20239	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
6	3	opprrng 20247	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		rnglidlmcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	eleq1i 2818	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 ↔ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
10	9	biimpi 215	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	3, 11	oppr0 20251	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
13	3, 1	opprbas 20243	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
14		rngridlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
15	12, 13, 4, 14	rnglidlmcl 21075	. . 3 ⊢ ((((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
16	6, 7, 10, 15	syl3anl 1412	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
17	5, 16	eqeltrrid 2832	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  0_gc0g 17394  Rngcrng 20057  opp_rcoppr 20235  LIdealclidl 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-oppr 20236  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem1  21140  rngqiprngimf  21150