Theorem rngridlmcl 21107

Description: A right ideal (which is a left ideal over the opposite ring) containing the zero element is closed under right-multiplication by elements of the full non-unital ring. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngridlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngridlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rngridlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rnglidlmcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20270	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
6	3	opprrng 20278	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		rnglidlmcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	eleq1i 2820	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 ↔ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
10	9	biimpi 215	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
11		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	3, 11	oppr0 20282	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
13	3, 1	opprbas 20274	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
14		rngridlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
15	12, 13, 4, 14	rnglidlmcl 21106	. . 3 ⊢ ((((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
16	6, 7, 10, 15	syl3anl 1413	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
17	5, 16	eqeltrrid 2834	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17415  Rngcrng 20086  opp_rcoppr 20266  LIdealclidl 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-oppr 20267  df-lss 20810  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem1  21171  rngqiprngimf  21181