Theorem rngridlmcl 21115

Description: A right ideal (which is a left ideal over the opposite ring) containing the zero element is closed under right-multiplication by elements of the full non-unital ring. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngridlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngridlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rngridlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rnglidlmcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20278	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
6	3	opprrng 20286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		rnglidlmcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	8	eleq1i 2816	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 ↔ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
10	9	biimpi 215	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
11		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	3, 11	oppr0 20290	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
13	3, 1	opprbas 20282	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
14		rngridlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
15	12, 13, 4, 14	rnglidlmcl 21114	. . 3 ⊢ ((((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
16	6, 7, 10, 15	syl3anl 1412	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋(.r‘(oppr‘𝑅))𝑌) ∈ 𝐼)
17	5, 16	eqeltrrid 2830	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑌 · 𝑋) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  0_gc0g 17418  Rngcrng 20094  opp_rcoppr 20274  LIdealclidl 21104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-oppr 20275  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106

This theorem is referenced by:  rngqiprngghmlem1  21179  rngqiprngimf  21189