MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptcl 15802
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3 iftrue 4231 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
43adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
5 prmnn 15595 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
75, 6sylan 569 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
84, 7eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
98ex 397 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
11 iffalse 4234 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
12 1nn 11233 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
1311, 12syl6eqel 2858 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1413a1d 25 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1510, 14pm2.61i 176 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1716ralimi2 3098 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
2019fmpt 6523 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2118, 20sylib 208 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
22 nnuz 11925 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
23 1zzd 11610 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2421ffvelrnda 6502 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
25 nnmulcl 11245 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2625adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2722, 23, 24, 26seqf 13029 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
2821, 27jca 501 1 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  ifcif 4225  cmpt 4863  wf 6027  (class class class)co 6793  1c1 10139   · cmul 10143  cn 11222  0cn0 11494  seqcseq 13008  cexp 13067  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  pcmpt  15803  pcmpt2  15804  pcmptdvds  15805  pcprod  15806  1arithlem4  15837  bposlem3  25232  bposlem5  25234  bposlem6  25235
  Copyright terms: Public domain W3C validator