MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pcmptcl 16867
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„•0))
3 iftrue 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
43adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5 prmnn 16652 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 nnexpcl 14079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
75, 6sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
84, 7eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
98ex 411 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ (𝐴 ∈ β„•0 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
11 iffalse 4541 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12 1nn 12261 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
1311, 12eqeltrdi 2837 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1413a1d 25 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1510, 14pm2.61i 182 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1716ralimi2 3075 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
181, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
2019fmpt 7125 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„• ↔ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
2118, 20sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
22 nnuz 12903 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
23 1zzd 12631 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
2421ffvelcdmda 7099 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
25 nnmulcl 12274 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2625adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2722, 23, 24, 26seqf 14028 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
2821, 27jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  (class class class)co 7426  1c1 11147   Β· cmul 11151  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  seqcseq 14006  β†‘cexp 14066  β„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-prm 16650
This theorem is referenced by:  pcmpt  16868  pcmpt2  16869  pcmptdvds  16870  pcprod  16871  1arithlem4  16902  bposlem3  27239  bposlem5  27241  bposlem6  27242
  Copyright terms: Public domain W3C validator