MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptcl 16083
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3 iftrue 4356 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
43adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
5 prmnn 15874 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 nnexpcl 13257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
75, 6sylan 572 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
84, 7eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
98ex 405 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
11 iffalse 4359 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
12 1nn 11452 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
1311, 12syl6eqel 2874 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1413a1d 25 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1510, 14pm2.61i 177 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1716ralimi2 3107 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
2019fmpt 6697 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2118, 20sylib 210 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
22 nnuz 12095 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
23 1zzd 11826 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2421ffvelrnda 6676 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
25 nnmulcl 11464 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2625adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2722, 23, 24, 26seqf 13206 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
2821, 27jca 504 1 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  ifcif 4350  cmpt 5008  wf 6184  (class class class)co 6976  1c1 10336   · cmul 10340  cn 11439  0cn0 11707  seqcseq 13184  cexp 13244  cprime 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-prm 15872
This theorem is referenced by:  pcmpt  16084  pcmpt2  16085  pcmptdvds  16086  pcprod  16087  1arithlem4  16118  bposlem3  25564  bposlem5  25566  bposlem6  25567
  Copyright terms: Public domain W3C validator