MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pcmptcl 16820
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„•0))
3 iftrue 4533 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5 prmnn 16607 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
75, 6sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
84, 7eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
98ex 413 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ (𝐴 ∈ β„•0 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
11 iffalse 4536 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12 1nn 12219 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
1311, 12eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1413a1d 25 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1510, 14pm2.61i 182 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1716ralimi2 3078 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
181, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
2019fmpt 7106 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„• ↔ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
2118, 20sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
22 nnuz 12861 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
23 1zzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
2421ffvelcdmda 7083 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
25 nnmulcl 12232 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2625adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2722, 23, 24, 26seqf 13985 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
2821, 27jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405  1c1 11107   Β· cmul 11111  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023  β„™cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-prm 16605
This theorem is referenced by:  pcmpt  16821  pcmpt2  16822  pcmptdvds  16823  pcprod  16824  1arithlem4  16855  bposlem3  26778  bposlem5  26780  bposlem6  26781
  Copyright terms: Public domain W3C validator