Theorem pcmptcl 16821

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3		iftrue 4484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5		prmnn 16603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		nnexpcl 13999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
8	4, 7	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
9	8	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
10	2, 9	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
11		iffalse 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12		1nn 12157	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	11, 12	eqeltrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
14	13	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
15	10, 14	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
16	15	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
17	16	ralimi2 3061	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
19		pcmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
20	19	fmpt 7048	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
21	18, 20	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
22		nnuz 12796	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23		1zzd 12524	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
24	21	ffvelcdmda 7022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
25		nnmulcl 12170	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
27	22, 23, 24, 26	seqf 13948	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28	21, 27	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ifcif 4478   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353  1c1 11029   · cmul 11033  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  pcmpt  16822  pcmpt2  16823  pcmptdvds  16824  pcprod  16825  1arithlem4  16856  bposlem3  27213  bposlem5  27215  bposlem6  27216