MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptcl 16217
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3 iftrue 4431 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
43adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
5 prmnn 16008 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 nnexpcl 13438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
75, 6sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
84, 7eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
98ex 416 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
11 iffalse 4434 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
12 1nn 11636 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
1311, 12eqeltrdi 2898 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1413a1d 25 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1510, 14pm2.61i 185 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1716ralimi2 3125 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
2019fmpt 6851 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2118, 20sylib 221 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
22 nnuz 12269 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
23 1zzd 12001 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2421ffvelrnda 6828 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
25 nnmulcl 11649 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2625adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2722, 23, 24, 26seqf 13387 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
2821, 27jca 515 1 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  ifcif 4425  cmpt 5110  wf 6320  (class class class)co 7135  1c1 10527   · cmul 10531  cn 11625  0cn0 11885  seqcseq 13364  cexp 13425  cprime 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-prm 16006
This theorem is referenced by:  pcmpt  16218  pcmpt2  16219  pcmptdvds  16220  pcprod  16221  1arithlem4  16252  bposlem3  25870  bposlem5  25872  bposlem6  25873
  Copyright terms: Public domain W3C validator