Theorem pcmptcl 16862

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3		iftrue 4473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5		prmnn 16643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		nnexpcl 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
8	4, 7	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
9	8	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
10	2, 9	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
11		iffalse 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12		1nn 12185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	11, 12	eqeltrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
14	13	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
15	10, 14	pm2.61i 182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
16	15	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
17	16	ralimi2 3070	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
19		pcmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
20	19	fmpt 7063	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
21	18, 20	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
22		nnuz 12827	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23		1zzd 12558	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
24	21	ffvelcdmda 7037	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
25		nnmulcl 12198	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
27	22, 23, 24, 26	seqf 13985	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28	21, 27	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6495  (class class class)co 7367  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  pcmpt  16863  pcmpt2  16864  pcmptdvds  16865  pcprod  16866  1arithlem4  16897  bposlem3  27249  bposlem5  27251  bposlem6  27252