MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pcmptcl 16830
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables π‘˜ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„•0))
3 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
43adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5 prmnn 16615 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 nnexpcl 14042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
75, 6sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛↑𝐴) ∈ β„•)
84, 7eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
98ex 412 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ (𝐴 ∈ β„•0 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
102, 9syld 47 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
11 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12 1nn 12224 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
1311, 12eqeltrdi 2835 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1413a1d 25 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑛 ∈ β„™ β†’ ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1510, 14pm2.61i 182 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•))
1716ralimi2 3072 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
181, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„•)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
2019fmpt 7104 . . 3 (βˆ€π‘› ∈ β„• if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ β„• ↔ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
2118, 20sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
22 nnuz 12866 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
23 1zzd 12594 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
2421ffvelcdmda 7079 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•)
25 nnmulcl 12237 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2625adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„•)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑝) ∈ β„•)
2722, 23, 24, 26seqf 13991 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
2821, 27jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  (class class class)co 7404  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  seqcseq 13969  β†‘cexp 14029  β„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  pcmpt  16831  pcmpt2  16832  pcmptdvds  16833  pcprod  16834  1arithlem4  16865  bposlem3  27169  bposlem5  27171  bposlem6  27172
  Copyright terms: Public domain W3C validator