MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprod 16835
Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
pcprod (𝑁 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2 pccl 16789 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
32ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
43ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ β„•0)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
8 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 16832 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10 iftrue 4529 . . . . . . 7 (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
1110adantl 481 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14 prmz 16617 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
15 dvdsle 16258 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑁 β†’ 𝑝 ≀ 𝑁))
1614, 15sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑁 β†’ 𝑝 ≀ 𝑁))
1716con3dimp 408 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑝 βˆ₯ 𝑁)
18 pceq0 16811 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ 𝑁))
2017, 19mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
2113, 20eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2211, 21pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ if(𝑝 ≀ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
239, 22eqtrd 2766 . . . 4 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2423ancoms 458 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2524ralrimiva 3140 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
261, 4pcmptcl 16831 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
2726simprd 495 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
28 ffvelcdm 7076 . . . . 5 ((seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
2927, 28mpancom 685 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
3029nnnn0d 12533 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•0)
31 nnnn0 12480 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
32 pc11 16820 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3330, 31, 32syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = 𝑁 ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3425, 33mpbird 257 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  seqcseq 13969  β†‘cexp 14030   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613   pCnt cpc 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16777
This theorem is referenced by:  pclogsum  27099
  Copyright terms: Public domain W3C validator