MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprod 16085
Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
pcprod (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2 pccl 16040 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
32ancoms 451 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 3125 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
54adantl 474 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
6 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpl 475 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
8 oveq1 6981 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 16082 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10 iftrue 4350 . . . . . . 7 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
1110adantl 474 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12 iffalse 4353 . . . . . . . 8 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
1312adantl 474 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14 prmz 15873 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
15 dvdsle 15518 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1614, 15sylan 572 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1716con3dimp 400 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝𝑁)
18 pceq0 16061 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
1918adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
2017, 19mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
2113, 20eqtr4d 2810 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2211, 21pm2.61dan 801 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
239, 22eqtrd 2807 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2423ancoms 451 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2524ralrimiva 3125 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
261, 4pcmptcl 16081 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
2726simprd 488 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28 ffvelrn 6672 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
2927, 28mpancom 676 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 11765 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0)
31 nnnn0 11713 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32 pc11 16070 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3330, 31, 32syl2anc 576 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3425, 33mpbird 249 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  ifcif 4344   class class class wbr 4925  cmpt 5004  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   · cmul 10338  cle 10473  cn 11437  0cn0 11705  cz 11791  seqcseq 13182  cexp 13242  cdvds 15465  cprime 15869   pCnt cpc 16027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870  df-pc 16028
This theorem is referenced by:  pclogsum  25508
  Copyright terms: Public domain W3C validator