MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprod 16835
Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pcprod.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
pcprod (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcprod.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2 pccl 16789 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
32ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
8 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
91, 5, 6, 7, 8pcmpt 16832 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
1110adantl 481 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12 iffalse 4537 . . . . . . . 8 𝑝𝑁 → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14 prmz 16619 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
15 dvdsle 16260 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1614, 15sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝𝑁𝑝𝑁))
1716con3dimp 408 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ¬ 𝑝𝑁)
18 pceq0 16811 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
2017, 19mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
2113, 20eqtr4d 2774 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝𝑁) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2211, 21pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑝𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
239, 22eqtrd 2771 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2423ancoms 458 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
2524ralrimiva 3145 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
261, 4pcmptcl 16831 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
2726simprd 495 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
2927, 28mpancom 685 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
3029nnnn0d 12539 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0)
31 nnnn0 12486 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32 pc11 16820 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3330, 31, 32syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
3425, 33mpbird 257 1 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  cle 11256  cn 12219  0cn0 12479  cz 12565  seqcseq 13973  cexp 14034  cdvds 16204  cprime 16615   pCnt cpc 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16777
This theorem is referenced by:  pclogsum  26969
  Copyright terms: Public domain W3C validator