Theorem pcprod 17073

Description: The product of the primes taken to their respective powers reconstructs the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcprod.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
pcprod	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem pcprod

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcprod.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
2		pccl 17027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
3	2	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℙ)
8		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
9	1, 5, 6, 7, 8	pcmpt 17070	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0))
10		iftrue 4487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
11	10	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
12		iffalse 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = 0)
14		prmz 16850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
15		dvdsle 16480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 ≤ 𝑁))
16	14, 15	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝑁 → 𝑝 ≤ 𝑁))
17	16	con3dimp 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
18		pceq0 17049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁) → ((𝑝 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁) → (𝑝 pCnt 𝑁) = 0)
21	13, 20	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁) → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
22	11, 21	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(𝑝 ≤ 𝑁, (𝑝 pCnt 𝑁), 0) = (𝑝 pCnt 𝑁))
23	9, 22	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
24	23	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
25	24	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
26	1, 4	pcmptcl 17069	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
27	26	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
28		ffvelcdm 7081	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
29	27, 28	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12667	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0)
31		nnnn0 12613	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32		pc11 17058	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
33	30, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁)))
34	25, 33	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  seqcseq 14144  ↑cexp 14204   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846   pCnt cpc 17014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015

This theorem is used by:  pclogsum  27542