MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 16853
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
pcmpt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pcmpt.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃 β†’ 𝐴 = 𝐡)
pcmpt2.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
42, 3pcmptcl 16851 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
54simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
8 eluznn 12924 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
96, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
105, 9ffvelcdmd 7089 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
1110nnzd 12607 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€)
1210nnne0d 12284 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) β‰  0)
135, 6ffvelcdmd 7089 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
14 pcdiv 16812 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) β‰  0) ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1373 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃 β†’ 𝐴 = 𝐡)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 16852 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 16852 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0))
1917, 18oveq12d 7432 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)))
2016eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 β†’ (𝐴 ∈ β„•0 ↔ 𝐡 ∈ β„•0))
2120, 3, 1rspcdva 3608 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12556 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2322subidd 11581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
2423adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
25 prmnn 16636 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2726nnred 12249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
296nnred 12249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
319nnred 12249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
33 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ≀ 𝑁)
34 eluzle 12857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
357, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
3728, 30, 32, 33, 36letrd 11393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ≀ 𝑀)
3837iftrued 4532 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) = 𝐡)
39 iftrue 4530 . . . . . 6 (𝑃 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 𝐡)
4039adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 𝐡)
4138, 40oveq12d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
42 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)
4342, 33nsyl3 138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ (𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁))
4443iffalsed 4535 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0) = 0)
4524, 41, 443eqtr4d 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
46 iffalse 4533 . . . . . 6 (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 0)
4746oveq2d 7430 . . . . 5 (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁 β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ 0))
48 0cn 11228 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
49 ifcl 4569 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5022, 48, 49sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5150subid1d 11582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ 0) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
5247, 51sylan9eqr 2789 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
53 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)
5453biantrud 531 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (𝑃 ≀ 𝑀 ↔ (𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)))
5554ifbid 4547 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5652, 55eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5745, 56pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5815, 19, 573eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   Β· cmul 11135   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  seqcseq 13990  β†‘cexp 14050  β„™cprime 16633   pCnt cpc 16796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16854  bposlem6  27209
  Copyright terms: Public domain W3C validator