MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 16826
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
pcmpt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pcmpt.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃 β†’ 𝐴 = 𝐡)
pcmpt2.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
42, 3pcmptcl 16824 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
54simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
8 eluznn 12902 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
105, 9ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
1110nnzd 12585 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€)
1210nnne0d 12262 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) β‰  0)
135, 6ffvelcdmd 7088 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
14 pcdiv 16785 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) β‰  0) ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1376 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃 β†’ 𝐴 = 𝐡)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 16825 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 16825 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0))
1917, 18oveq12d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€)) βˆ’ (𝑃 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)))
2016eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 β†’ (𝐴 ∈ β„•0 ↔ 𝐡 ∈ β„•0))
2120, 3, 1rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2322subidd 11559 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
25 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
2726nnred 12227 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
296nnred 12227 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
319nnred 12227 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3231adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ≀ 𝑁)
34 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
357, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
3728, 30, 32, 33, 36letrd 11371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ 𝑃 ≀ 𝑀)
3837iftrued 4537 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) = 𝐡)
39 iftrue 4535 . . . . . 6 (𝑃 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 𝐡)
4039adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 𝐡)
4138, 40oveq12d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
42 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)
4342, 33nsyl3 138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ (𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁))
4443iffalsed 4540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0) = 0)
4524, 41, 443eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
46 iffalse 4538 . . . . . 6 (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁 β†’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0) = 0)
4746oveq2d 7425 . . . . 5 (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁 β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ 0))
48 0cn 11206 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
49 ifcl 4574 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5022, 48, 49sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
5150subid1d 11560 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ 0) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
5247, 51sylan9eqr 2795 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0))
53 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)
5453biantrud 533 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (𝑃 ≀ 𝑀 ↔ (𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁)))
5554ifbid 4552 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5652, 55eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁) β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5745, 56pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ (if(𝑃 ≀ 𝑀, 𝐡, 0) βˆ’ if(𝑃 ≀ 𝑁, 𝐡, 0)) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
5815, 19, 573eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑃 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑁), 𝐡, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  β„™cprime 16608   pCnt cpc 16769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16827  bposlem6  26792
  Copyright terms: Public domain W3C validator