MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 16888
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
42, 3pcmptcl 16886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
54simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
8 eluznn 12946 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
105, 9ffvelcdmd 7089 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
1110nnzd 12629 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
1210nnne0d 12306 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
135, 6ffvelcdmd 7089 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14 pcdiv 16847 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 16887 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 16887 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
1917, 18oveq12d 7432 . 2 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2016eleq1d 2811 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
2120, 3, 1rspcdva 3609 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 12578 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2322subidd 11598 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
2423adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (𝐵𝐵) = 0)
25 prmnn 16668 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2726nnred 12271 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2827adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
296nnred 12271 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
319nnred 12271 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3231adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
34 eluzle 12879 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
357, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑀)
3635adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁𝑀)
3728, 30, 32, 33, 36letrd 11410 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑀)
3837iftrued 4532 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39 iftrue 4530 . . . . . 6 (𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4039adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4138, 40oveq12d 7432 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵𝐵))
42 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
4342, 33nsyl3 138 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → ¬ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁))
4443iffalsed 4535 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0) = 0)
4524, 41, 443eqtr4d 2776 . . 3 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
46 iffalse 4533 . . . . . 6 𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 0)
4746oveq2d 7430 . . . . 5 𝑃𝑁 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48 0cn 11245 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
49 ifcl 4569 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5022, 48, 49sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5150subid1d 11599 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
5247, 51sylan9eqr 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
53 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
5453biantrud 530 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁)))
5554ifbid 4547 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5652, 55eqtrd 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5745, 56pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5815, 19, 573eqtrd 2770 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152  cle 11288  cmin 11483   / cdiv 11910  cn 12256  0cn0 12516  cz 12602  cuz 12866  seqcseq 14013  cexp 14073  cprime 16665   pCnt cpc 16831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-fz 13531  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-dvds 16250  df-gcd 16488  df-prm 16666  df-pc 16832
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16889  bposlem6  27313
  Copyright terms: Public domain W3C validator