MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt2 16691
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
42, 3pcmptcl 16689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
54simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
8 eluznn 12759 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
105, 9ffvelcdmd 7018 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
1110nnzd 12526 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
1210nnne0d 12124 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
135, 6ffvelcdmd 7018 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14 pcdiv 16650 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1374 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 16690 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 16690 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
1917, 18oveq12d 7355 . 2 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2016eleq1d 2821 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
2120, 3, 1rspcdva 3571 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 12396 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2322subidd 11421 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (𝐵𝐵) = 0)
25 prmnn 16476 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
261, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2726nnred 12089 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
296nnred 12089 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
319nnred 12089 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
34 eluzle 12696 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
357, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑀)
3635adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁𝑀)
3728, 30, 32, 33, 36letrd 11233 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑀)
3837iftrued 4481 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39 iftrue 4479 . . . . . 6 (𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4039adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4138, 40oveq12d 7355 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵𝐵))
42 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
4342, 33nsyl3 138 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → ¬ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁))
4443iffalsed 4484 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0) = 0)
4524, 41, 443eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
46 iffalse 4482 . . . . . 6 𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 0)
4746oveq2d 7353 . . . . 5 𝑃𝑁 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48 0cn 11068 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
49 ifcl 4518 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5022, 48, 49sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5150subid1d 11422 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
5247, 51sylan9eqr 2798 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
53 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
5453biantrud 532 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁)))
5554ifbid 4496 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5652, 55eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5745, 56pm2.61dan 810 . 2 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5815, 19, 573eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cmpt 5175  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   · cmul 10977  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  cuz 12683  seqcseq 13822  cexp 13883  cprime 16473   pCnt cpc 16634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16692  bposlem6  26543
  Copyright terms: Public domain W3C validator