Theorem pcmpt2 16001

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5	⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
4	2, 3	pcmptcl 15999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5	4	simprd 491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6		pcmpt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8		eluznn 12065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelrnd 6624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 11833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 11425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
13	5, 6	ffvelrnd 6624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14		pcdiv 15961	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1443	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16		pcmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 16000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 16000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0))
19	17, 18	oveq12d 6940	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)))
20	16	eleq1d 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐵 ∈ ℕ0))
21	20, 3, 1	rspcdva 3516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 11704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	subidd 10722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
24	23	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
25		prmnn 15793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27	26	nnred 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
28	27	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
29	6	nnred 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	9	nnred 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
32	31	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)
34		eluzle 12005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
35	7, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
36	35	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 10533	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑀)
38	37	iftrued 4314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39		iftrue 4312	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
40	39	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
41	38, 40	oveq12d 6940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵 − 𝐵))
42		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
43	42, 33	nsyl3 136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
44	43	iffalsed 4317	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0) = 0)
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
46		iffalse 4315	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 0)
47	46	oveq2d 6938	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48		0cn 10368	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
49		ifcl 4350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
50	22, 48, 49	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
51	50	subid1d 10723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
52	47, 51	sylan9eqr 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
53		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
54	53	biantrud 527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝑃 ≤ 𝑀 ↔ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)))
55	54	ifbid 4328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
56	52, 55	eqtrd 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
57	45, 56	pm2.61dan 803	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
58	15, 19, 57	3eqtrd 2817	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ifcif 4306   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  seqcseq 13119  ↑cexp 13178  ℙcprime 15790   pCnt cpc 15945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16002  bposlem6  25466