Theorem pcmpt2 17071

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5	⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
4	2, 3	pcmptcl 17069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5	4	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6		pcmpt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8		eluznn 13045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12719	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 12388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
13	5, 6	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14		pcdiv 17030	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16		pcmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 17070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 17070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0))
19	17, 18	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)))
20	16	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐵 ∈ ℕ0))
21	20, 3, 1	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	subidd 11657	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
25		prmnn 16849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
26	1, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27	26	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
29	6	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	9	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
32	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)
34		eluzle 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
35	7, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 11467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑀)
38	37	iftrued 4489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
40	39	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
41	38, 40	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵 − 𝐵))
42		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
43	42, 33	nsyl3 139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
44	43	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0) = 0)
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
46		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 0)
47	46	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48		0cn 11298	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
49		ifcl 4527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
50	22, 48, 49	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
51	50	subid1d 11658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
52	47, 51	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
53		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
54	53	biantrud 541	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝑃 ≤ 𝑀 ↔ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)))
55	54	ifbid 4505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
56	52, 55	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
57	45, 56	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
58	15, 19, 57	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  seqcseq 14144  ↑cexp 14204  ℙcprime 16846   pCnt cpc 17014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015

This theorem is used by:  pcmptdvds  17072  bposlem6  27616