Theorem pczcl 16908

Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pczcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pczcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
2	1	pczpre 16907	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
3		prmuz2 16754	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
5	4, 1	pcprecl 16899	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
6	3, 5	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
7	6	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
8	2, 7	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9400  ℝcr 11099  0cc0 11100   < clt 11243  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ↑cexp 14097   ∥ cdvds 16310  ℙcprime 16729   pCnt cpc 16896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-pc 16897

This theorem is referenced by:  pccl  16909  pcqmul  16913  pcqcl  16916  pcxnn0cl  16920  pcge0  16922  pcdvdsb  16929  pcdvdstr  16936  pcgcd1  16937  pc2dvds  16939  pcz  16941  pcaddlem  16948  pcadd  16949  qexpz  16961  lgsfcl2  27433  lgsdir  27462  lgsdi  27464  lgsne0  27465