Theorem pczcl 16559

Description: Closure of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pczcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem pczcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
2	1	pczpre 16558	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
3		prmuz2 16411	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}
5	4, 1	pcprecl 16550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
6	3, 5	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < )) ∥ 𝑁))
7	6	simpld 495	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → sup({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
8	2, 7	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068   class class class wbr 5073  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  supcsup 9186  ℝcr 10880  0cc0 10881   < clt 11019  2c2 12038  ℕ₀cn0 12243  ℤcz 12329  ℤ_≥cuz 12592  ↑cexp 13792   ∥ cdvds 15973  ℙcprime 16386   pCnt cpc 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-dvds 15974  df-gcd 16212  df-prm 16387  df-pc 16548

This theorem is referenced by:  pccl  16560  pcqmul  16564  pcqcl  16567  pcxnn0cl  16571  pcge0  16573  pcdvdsb  16580  pcdvdstr  16587  pcgcd1  16588  pc2dvds  16590  pcz  16592  pcaddlem  16599  pcadd  16600  qexpz  16612  lgsfcl2  26461  lgsdir  26490  lgsdi  26492  lgsne0  26493