MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 16821
Description: Lemma for pceu 16822. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
pcval.2 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
pceu.3 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
pceu.4 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
pceu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pceu.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
pceu.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
pceu.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
pceu.9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
pceu.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
Assertion
Ref Expression
pceulem (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘ ,๐‘ก   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
21simprd 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
54simpld 493 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12705 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcomd 11273 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘  ยท ๐‘ฆ))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
108, 9eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
114simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„•)
1211nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
131simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1511nnne0d 12300 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
162nnne0d 12300 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 12074 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
1810, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
197, 18eqtrd 2768 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
2019breq2d 5164 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2120rabbidv 3438 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
22 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) = (๐‘ƒโ†‘๐‘ง))
2322breq1d 5162 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )))
2423cbvrabv 3441 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}
2522breq1d 5162 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2625cbvrabv 3441 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}
2721, 24, 263eqtr4g 2793 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
2827supeq1d 9477 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
302nnzd 12623 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
31 pceu.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3212, 15div0d 12027 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ก) = 0)
33 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (0 / ๐‘ก))
3433eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = 0 โ†” (0 / ๐‘ก) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
368eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
3735, 36sylibrd 258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
3837necon3d 2958 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘  โ‰  0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โ‰  0)
40 pcval.2 . . . . 5 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
41 pceu.3 . . . . 5 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
42 eqid 2728 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < )
4340, 41, 42pcpremul 16819 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
453, 16div0d 12027 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
46 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
4746eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
499eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5150necon3d 2958 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5311nnzd 12623 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„ค)
54 pcval.1 . . . . 5 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
55 pceu.4 . . . . 5 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
56 eqid 2728 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < )
5754, 55, 56pcpremul 16819 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰))
60 prmuz2 16674 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
62 eqid 2728 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}
6362, 40pcprecl 16815 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‡) โˆฅ ๐‘ฆ))
6463simpld 493 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6665nn0cnd 12572 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
67 eqid 2728 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ } = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }
6867, 41pcprecl 16815 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘ˆ) โˆฅ ๐‘ ))
6968simpld 493 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7170nn0cnd 12572 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
72 eqid 2728 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}
7372, 54pcprecl 16815 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘†) โˆฅ ๐‘ฅ))
7473simpld 493 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7675nn0cnd 12572 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
77 eqid 2728 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}
7877, 55pcprecl 16815 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‰) โˆฅ ๐‘ก))
7978simpld 493 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8180nn0cnd 12572 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 11660 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰) โ†” (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰)))
8359, 82mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  {crab 3430   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  โ„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ†‘cexp 14066   โˆฅ cdvds 16238  โ„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650
This theorem is referenced by:  pceu  16822
  Copyright terms: Public domain W3C validator