MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 16774
Description: Lemma for pceu 16775. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
pcval.2 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
pceu.3 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
pceu.4 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
pceu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pceu.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
pceu.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
pceu.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
pceu.9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
pceu.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
Assertion
Ref Expression
pceulem (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘ ,๐‘ก   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
21simprd 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12224 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
54simpld 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12663 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcomd 11231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘  ยท ๐‘ฆ))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
108, 9eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
114simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„•)
1211nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
131simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12663 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1511nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
162nnne0d 12258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 12032 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
1810, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
197, 18eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
2019breq2d 5159 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2120rabbidv 3440 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
22 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) = (๐‘ƒโ†‘๐‘ง))
2322breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )))
2423cbvrabv 3442 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}
2522breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2625cbvrabv 3442 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}
2721, 24, 263eqtr4g 2797 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
2827supeq1d 9437 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
302nnzd 12581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
31 pceu.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3212, 15div0d 11985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ก) = 0)
33 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (0 / ๐‘ก))
3433eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = 0 โ†” (0 / ๐‘ก) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
368eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
3735, 36sylibrd 258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
3837necon3d 2961 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘  โ‰  0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โ‰  0)
40 pcval.2 . . . . 5 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
41 pceu.3 . . . . 5 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
42 eqid 2732 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < )
4340, 41, 42pcpremul 16772 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
453, 16div0d 11985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
46 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
4746eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
499eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5150necon3d 2961 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5311nnzd 12581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„ค)
54 pcval.1 . . . . 5 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
55 pceu.4 . . . . 5 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
56 eqid 2732 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < )
5754, 55, 56pcpremul 16772 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2782 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰))
60 prmuz2 16629 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
62 eqid 2732 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}
6362, 40pcprecl 16768 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‡) โˆฅ ๐‘ฆ))
6463simpld 495 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6665nn0cnd 12530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
67 eqid 2732 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ } = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }
6867, 41pcprecl 16768 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘ˆ) โˆฅ ๐‘ ))
6968simpld 495 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7170nn0cnd 12530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
72 eqid 2732 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}
7372, 54pcprecl 16768 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘†) โˆฅ ๐‘ฅ))
7473simpld 495 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7675nn0cnd 12530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
77 eqid 2732 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}
7877, 55pcprecl 16768 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‰) โˆฅ ๐‘ก))
7978simpld 495 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8180nn0cnd 12530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 11618 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰) โ†” (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰)))
8359, 82mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  {crab 3432   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  โ„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  โ†‘cexp 14023   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605
This theorem is referenced by:  pceu  16775
  Copyright terms: Public domain W3C validator