MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 16717
Description: Lemma for pceu 16718. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
pceu.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
Assertion
Ref Expression
pceulem (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
21simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ∈ ℕ)
32nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
54simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
65zcnd 12608 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
73, 6mulcomd 11176 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
108, 9eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
114simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑡 ∈ ℕ)
1211nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ∈ ℂ)
131simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑥 ∈ ℤ)
1413zcnd 12608 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑥 ∈ ℂ)
1511nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ≠ 0)
162nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ≠ 0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 11977 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
1810, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
197, 18eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
2019breq2d 5117 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2120rabbidv 3415 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑧))
2322breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
2423cbvrabv 3417 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
2522breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2625cbvrabv 3417 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
2721, 24, 263eqtr4g 2801 . . . 4 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
2827supeq1d 9382 . . 3 (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
302nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ℤ)
31 pceu.6 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3212, 15div0d 11930 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
33 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
3433eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
368eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
3735, 36sylibrd 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
3837necon3d 2964 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑠 ≠ 0)
40 pcval.2 . . . . 5 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
41 pceu.3 . . . . 5 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
42 eqid 2736 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
4340, 41, 42pcpremul 16715 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1379 . . 3 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
453, 16div0d 11930 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
46 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
4746eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
499eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
5048, 49sylibrd 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
5150necon3d 2964 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑥 ≠ 0)
5311nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
54 pcval.1 . . . . 5 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
55 pceu.4 . . . . 5 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
56 eqid 2736 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
5754, 55, 56pcpremul 16715 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1379 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
60 prmuz2 16572 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
62 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}
6362, 40pcprecl 16711 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑦))
6463simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 835 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 12475 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}
6867, 41pcprecl 16711 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ 𝑠))
6968simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 835 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 12475 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
72 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}
7372, 54pcprecl 16711 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑥))
7473simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 835 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 12475 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
77 eqid 2736 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}
7877, 55pcprecl 16711 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑉) ∥ 𝑡))
7978simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 835 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 12475 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 11563 . 2 (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉)))
8359, 82mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  pceu  16718
  Copyright terms: Public domain W3C validator