MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 16724
Description: Lemma for pceu 16725. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
pcval.2 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
pceu.3 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
pceu.4 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
pceu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pceu.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
pceu.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
pceu.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
pceu.9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
pceu.10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
Assertion
Ref Expression
pceulem (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘ ,๐‘ก   ๐‘‡,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘›,๐‘ )

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•))
21simprd 497 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„•))
54simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcomd 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘  ยท ๐‘ฆ))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘  / ๐‘ก))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
108, 9eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
114simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„•)
1211nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
131simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12615 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1511nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โ‰  0)
162nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 11984 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
1810, 17mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
197, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ก))
2019breq2d 5122 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2120rabbidv 3418 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
22 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) = (๐‘ƒโ†‘๐‘ง))
2322breq1d 5120 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ ) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )))
2423cbvrabv 3420 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}
2522breq1d 5120 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)))
2625cbvrabv 3420 . . . . 5 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)} = {๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘ง) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}
2721, 24, 263eqtr4g 2802 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)})
2827supeq1d 9389 . . 3 (๐œ‘ โ†’ sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
302nnzd 12533 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
31 pceu.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3212, 15div0d 11937 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ก) = 0)
33 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = (0 / ๐‘ก))
3433eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ ((๐‘  / ๐‘ก) = 0 โ†” (0 / ๐‘ก) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
368eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘  / ๐‘ก) = 0))
3735, 36sylibrd 259 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘  = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
3837necon3d 2965 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘  โ‰  0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘  โ‰  0)
40 pcval.2 . . . . 5 ๐‘‡ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}, โ„, < )
41 pceu.3 . . . . 5 ๐‘ˆ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }, โ„, < )
42 eqid 2737 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < )
4340, 41, 42pcpremul 16722 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ )}, โ„, < ))
453, 16div0d 11937 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
46 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
4746eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
499eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
5048, 49sylibrd 259 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5150necon3d 2965 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
5311nnzd 12533 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„ค)
54 pcval.1 . . . . 5 ๐‘† = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}, โ„, < )
55 pceu.4 . . . . 5 ๐‘‰ = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}, โ„, < )
56 eqid 2737 . . . . 5 sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < )
5754, 55, 56pcpremul 16722 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† + ๐‘‰) = sup({๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ก)}, โ„, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2787 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰))
60 prmuz2 16579 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
62 eqid 2737 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฆ}
6362, 40pcprecl 16718 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‡) โˆฅ ๐‘ฆ))
6463simpld 496 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„•0)
6665nn0cnd 12482 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
67 eqid 2737 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ } = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ }
6867, 41pcprecl 16718 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘ˆ) โˆฅ ๐‘ ))
6968simpld 496 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘  โ‰  0)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0)
7170nn0cnd 12482 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
72 eqid 2737 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ฅ}
7372, 54pcprecl 16718 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘†) โˆฅ ๐‘ฅ))
7473simpld 496 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
7675nn0cnd 12482 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
77 eqid 2737 . . . . . . 7 {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก} = {๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆฃ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โˆฅ ๐‘ก}
7877, 55pcprecl 16718 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘‰) โˆฅ ๐‘ก))
7978simpld 496 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ก โ‰  0)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 836 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„•0)
8180nn0cnd 12482 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 11570 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ + ๐‘ˆ) = (๐‘† + ๐‘‰) โ†” (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰)))
8359, 82mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  โ„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  pceu  16725
  Copyright terms: Public domain W3C validator