MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pceulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pceulem 16015
Description: Lemma for pceu 16016. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcval.1 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
pceu.7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
Assertion
Ref Expression
pceulem (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem pceulem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pceu.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
21simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ∈ ℕ)
32nncnd 11508 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
4 pceu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
54simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
65zcnd 11942 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
73, 6mulcomd 10515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8 pceu.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9 pceu.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
108, 9eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
114simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑡 ∈ ℕ)
1211nncnd 11508 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ∈ ℂ)
131simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑥 ∈ ℤ)
1413zcnd 11942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑥 ∈ ℂ)
1511nnne0d 11541 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑡 ≠ 0)
162nnne0d 11541 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑦 ≠ 0)
176, 12, 14, 3, 15, 16divmuleqd 11316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
1810, 17mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
197, 18eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
2019breq2d 4980 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2120rabbidv 3428 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22 oveq2 7031 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑧))
2322breq1d 4978 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
2423cbvrabv 3437 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
2522breq1d 4978 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
2625cbvrabv 3437 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
2721, 24, 263eqtr4g 2858 . . . 4 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
2827supeq1d 8763 . . 3 (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29 pceu.5 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
302nnzd 11940 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ℤ)
31 pceu.6 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
3212, 15div0d 11269 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
33 oveq1 7030 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
3433eqeq1d 2799 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
3532, 34syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
368eqeq1d 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
3735, 36sylibrd 260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
3837necon3d 3007 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
3931, 38mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑠 ≠ 0)
40 pcval.2 . . . . 5 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
41 pceu.3 . . . . 5 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
42 eqid 2797 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
4340, 41, 42pcpremul 16013 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
4429, 30, 16, 5, 39, 43syl122anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
453, 16div0d 11269 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
46 oveq1 7030 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
4746eqeq1d 2799 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
4845, 47syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
499eqeq1d 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
5048, 49sylibrd 260 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
5150necon3d 3007 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
5231, 51mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑥 ≠ 0)
5311nnzd 11940 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
54 pcval.1 . . . . 5 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
55 pceu.4 . . . . 5 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
56 eqid 2797 . . . . 5 sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
5754, 55, 56pcpremul 16013 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5829, 13, 52, 53, 15, 57syl122anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
5928, 44, 583eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
60 prmuz2 15873 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6129, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
62 eqid 2797 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑦}
6362, 40pcprecl 16009 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑇) ∥ 𝑦))
6463simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
6561, 30, 16, 64syl12anc 833 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11811 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 eqid 2797 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑠}
6867, 41pcprecl 16009 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑈) ∥ 𝑠))
6968simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
7061, 5, 39, 69syl12anc 833 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℕ0)
7170nn0cnd 11811 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
72 eqid 2797 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑥}
7372, 54pcprecl 16009 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑥))
7473simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
7561, 13, 52, 74syl12anc 833 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
7675nn0cnd 11811 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
77 eqid 2797 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑡}
7877, 55pcprecl 16009 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑉) ∥ 𝑡))
7978simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
8061, 53, 15, 79syl12anc 833 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11811 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
8266, 71, 76, 81addsubeq4d 10902 . 2 (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉)))
8359, 82mpbid 233 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  {crab 3111   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  supcsup 8757  cr 10389  0cc0 10390   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  cexp 13283  cdvds 15444  cprime 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849
This theorem is referenced by:  pceu  16016
  Copyright terms: Public domain W3C validator