Theorem pceulem 16922

Description: Lemma for pceu 16923. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcval.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
pcval.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
pceu.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
pceu.4	⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
pceu.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pceu.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
pceu.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
pceu.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
pceu.9	⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
pceu.10	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))

Assertion

Ref	Expression
pceulem	⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑡   𝑇,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑛, 𝑠)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑛, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑛, 𝑠)

Proof of Theorem pceulem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pceu.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ))
2	1	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
4		pceu.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℕ))
5	4	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑠 · 𝑦))
8		pceu.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑠 / 𝑡))
9		pceu.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑥 / 𝑦))
10	8, 9	eqtr3d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦))
11	4	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℕ)
12	11	nncnd 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℂ)
13	1	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	11	nnne0d 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ≠ 0)
16	2	nnne0d 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ≠ 0)
17	6, 12, 14, 3, 15, 16	divmuleqd 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 / 𝑡) = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡)))
18	10, 17	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑡))
19	7, 18	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑠) = (𝑥 · 𝑡))
20	19	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
21	20	rabbidv 3425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
22		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑𝑧))
23	22	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)))
24	23	cbvrabv 3428	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑦 · 𝑠)}
25	22	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡) ↔ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)))
26	25	cbvrabv 3428	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑧) ∥ (𝑥 · 𝑡)}
27	21, 24, 26	3eqtr4g 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)})
28	27	supeq1d 9409	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
29		pceu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
30	2	nnzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℤ)
31		pceu.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
32	12, 15	div0d 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑡) = 0)
33		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = (0 / 𝑡))
34	33	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝑠 / 𝑡) = 0 ↔ (0 / 𝑡) = 0))
35	32, 34	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → (𝑠 / 𝑡) = 0))
36	8	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑠 / 𝑡) = 0))
37	35, 36	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 = 0 → 𝑁 = 0))
38	37	necon3d 2981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑠 ≠ 0))
39	31, 38	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ≠ 0)
40		pcval.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < )
41		pceu.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}, ℝ, < )
42		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < )
43	40, 41, 42	pcpremul 16920	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
44	29, 30, 16, 5, 39, 43	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑦 · 𝑠)}, ℝ, < ))
45	3, 16	div0d 12001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑦) = 0)
46		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
47	46	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
48	45, 47	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
49	9	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) = 0))
50	48, 49	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝑁 = 0))
51	50	necon3d 2981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
52	31, 51	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ≠ 0)
53	11	nnzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ℤ)
54		pcval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < )
55		pceu.4	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}, ℝ, < )
56		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < )
57	54, 55, 56	pcpremul 16920	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
58	29, 13, 52, 53, 15, 57	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 𝑉) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑥 · 𝑡)}, ℝ, < ))
59	28, 44, 58	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉))
60		prmuz2 16771	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
61	29, 60	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
62		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑦}
63	62, 40	pcprecl 16916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑦))
64	63	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
65	61, 30, 16, 64	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑠}
68	67, 41	pcprecl 16916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ 𝑠))
69	68	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
70	61, 5, 39, 69	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ0)
71	70	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
72		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑥}
73	72, 54	pcprecl 16916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑥))
74	73	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
75	61, 13, 52, 74	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
76	75	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
77		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑡}
78	77, 55	pcprecl 16916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (𝑉 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑉) ∥ 𝑡))
79	78	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑡 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → 𝑉 ∈ ℕ0)
80	61, 53, 15, 79	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℕ0)
81	80	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
82	66, 71, 76, 81	addsubeq4d 11631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 + 𝑈) = (𝑆 + 𝑉) ↔ (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉)))
83	59, 82	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑇) = (𝑈 − 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  supcsup 9403  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873  ↑cexp 14110   ∥ cdvds 16327  ℙcprime 16746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747

This theorem is used by:  pceu  16923