MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpre1 16178
Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpre1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1
StepHypRef Expression
1 1z 12011 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
2 eleq1 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
31, 2mpbiri 260 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ax-1ne0 10605 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
5 neeq1 3078 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 260 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
73, 6jca 514 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8 pclem.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
9 pclem.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
108, 9pcprecl 16175 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
117, 10sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
1211simprd 498 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑁)
13 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
1412, 13breqtrd 5091 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 1)
15 eluz2nn 12283 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
1615adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
1711simpld 497 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
1816, 17nnexpcld 13605 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
1918nnzd 12085 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
20 1nn 11648 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
21 dvdsle 15659 . . . . . 6 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2219, 20, 21sylancl 588 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2314, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ 1)
2416nncnd 11653 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
2524exp0d 13503 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
2623, 25breqtrrd 5093 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0))
2716nnred 11652 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
2817nn0zd 12084 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℤ)
29 0zd 11992 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℤ)
30 eluz2gt1 12319 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
3130adantr 483 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
3227, 28, 29, 31leexp2d 13614 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
3326, 32mpbird 259 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
3410simpld 497 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
357, 34sylan2 594 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
36 nn0le0eq0 11924 . . 3 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3735, 36syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3833, 37mpbid 234 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  {crab 3142   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  supcsup 8903  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   < clt 10674  cle 10675  cn 11637  2c2 11691  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  cexp 13428  cdvds 15606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607
This theorem is referenced by:  pczpre  16183  pc1  16191
  Copyright terms: Public domain W3C validator