MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcpre1 15829
Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
pcpre1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcpre1
StepHypRef Expression
1 1z 11657 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
2 eleq1 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ↔ 1 ∈ ℤ))
31, 2mpbiri 249 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ax-1ne0 10260 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
5 neeq1 2999 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
64, 5mpbiri 249 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 0)
73, 6jca 507 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8 pclem.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
9 pclem.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
108, 9pcprecl 15826 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
117, 10sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑆) ∥ 𝑁))
1211simprd 489 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 𝑁)
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
1412, 13breqtrd 4837 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∥ 1)
15 eluz2nn 11929 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
1711simpld 488 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
1816, 17nnexpcld 13240 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℕ)
1918nnzd 11731 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ∈ ℤ)
20 1nn 11289 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
21 dvdsle 15320 . . . . . 6 (((𝑃𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2219, 20, 21sylancl 580 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑃𝑆) ∥ 1 → (𝑃𝑆) ≤ 1))
2314, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ 1)
2416nncnd 11294 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℂ)
2524exp0d 13212 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃↑0) = 1)
2623, 25breqtrrd 4839 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0))
2716nnred 11293 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑃 ∈ ℝ)
2817nn0zd 11730 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℤ)
29 0zd 11638 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ ℤ)
30 eluz2b2 11965 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
3130simprbi 490 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
3231adantr 472 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 1 < 𝑃)
3327, 28, 29, 32leexp2d 13249 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ (𝑃𝑆) ≤ (𝑃↑0)))
3426, 33mpbird 248 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ≤ 0)
3510simpld 488 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
367, 35sylan2 586 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 ∈ ℕ0)
37 nn0le0eq0 11570 . . 3 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3836, 37syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑆 ≤ 0 ↔ 𝑆 = 0))
3934, 38mpbid 223 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑆 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   < clt 10330  cle 10331  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  cexp 13070  cdvds 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-dvds 15269
This theorem is referenced by:  pczpre  15834  pc1  15842
  Copyright terms: Public domain W3C validator