Theorem pfxsuff1eqwrdeq 14620

Description: Two (nonempty) words are equal if and only if they have the same prefix and the same single symbol suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuff1eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem pfxsuff1eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt0n0 14286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
2		lennncl 14455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3	1, 2	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4	3	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5		fzo0end 13672	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7		pfxsuffeqwrdeq 14619	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
8	6, 7	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
9		hashneq0 14285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → 𝑊 ≠ ∅))
11	10	imdistani 568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12	11	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
14		swrdlsw 14589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
16		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (♯‘𝑈)))
17	16	3anbi3d 1444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈))))
18		hashneq0 14285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) → 𝑈 ≠ ∅))
20	19	imdistani 568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	20	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
22		swrdlsw 14589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
24	17, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
25	24	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
26		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
27		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
28	26, 27	opeq12d 4835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩)
29	28	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩))
30	29	eqeq1d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
32	25, 31	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
33	15, 32	eqeq12d 2750	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
34		fvexd 6847	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
35		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘𝑈) ∈ V
36		s111 14537	. . . . . 6 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
37	34, 35, 36	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
38	33, 37	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
39	38	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
40	39	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
41	8, 40	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  ∅c0 4283  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164   − cmin 11362  ℕcn 12143  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Word cword 14434  lastSclsw 14483  ⟨“cs1 14517   substr csubstr 14562   prefix cpfx 14592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-s1 14518  df-substr 14563  df-pfx 14593

This theorem is referenced by:  wwlksnextinj  29921  clwwlkf1  30073