MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxsuff1eqwrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxsuff1eqwrdeq 13689
Description: Two (nonempty) words are equal if and only if they have the same prefix and the same single symbol suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 6-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxsuff1eqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem pfxsuff1eqwrdeq
StepHypRef Expression
1 hashgt0n0 13361 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
2 lennncl 13509 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
31, 2syldan 585 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
433adant2 1161 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5 fzo0end 12771 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7 pfxsuffeqwrdeq 13688 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
86, 7syld3an3 1528 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
9 hashneq0 13360 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
109biimpd 220 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → 𝑊 ≠ ∅))
1110imdistani 564 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
12113adant2 1161 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
1312adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
14 swrdlsw 13657 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
16 breq2 4815 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (♯‘𝑈)))
17163anbi3d 1566 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈))))
18 hashneq0 13360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
1918biimpd 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) → 𝑈 ≠ ∅))
2019imdistani 564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
21203adant1 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
22 swrdlsw 13657 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
2417, 23syl6bi 244 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2524impcom 396 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
26 oveq1 6851 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
2826, 27opeq12d 4569 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩)
2928oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩))
3029eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3130adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3225, 31mpbird 248 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
3315, 32eqeq12d 2780 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
34 fvexd 6392 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
35 fvex 6390 . . . . . 6 (lastS‘𝑈) ∈ V
36 s111 13589 . . . . . 6 (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
3734, 35, 36sylancl 580 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
3833, 37bitrd 270 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
3938anbi2d 622 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
4039pm5.32da 574 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
418, 40bitrd 270 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  c0 4081  cop 4342   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  0cc0 10191  1c1 10192   < clt 10330  cmin 10522  cn 11276  ..^cfzo 12676  chash 13324  Word cword 13489  lastSclsw 13536  ⟨“cs1 13569   substr csubstr 13619   prefix cpfx 13664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-xnn0 11613  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-lsw 13537  df-s1 13570  df-substr 13620  df-pfx 13665
This theorem is referenced by:  wwlksnextinj  27108  clwwlkf1  27300
  Copyright terms: Public domain W3C validator