Theorem pfxsuff1eqwrdeq 14412

Description: Two (nonempty) words are equal if and only if they have the same prefix and the same single symbol suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuff1eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem pfxsuff1eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashgt0n0 14080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
2		lennncl 14237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3	1, 2	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4	3	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
5		fzo0end 13479	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7		pfxsuffeqwrdeq 14411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
8	6, 7	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
9		hashneq0 14079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → 𝑊 ≠ ∅))
11	10	imdistani 569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12	11	3adant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
14		swrdlsw 14380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
16		breq2 5078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (♯‘𝑈)))
17	16	3anbi3d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈))))
18		hashneq0 14079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
19	18	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) → 𝑈 ≠ ∅))
20	19	imdistani 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
21	20	3adant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
22		swrdlsw 14380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
24	17, 23	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
25	24	impcom 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
26		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
27		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
28	26, 27	opeq12d 4812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩)
29	28	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩))
30	29	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
32	25, 31	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
33	15, 32	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
34		fvexd 6789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
35		fvex 6787	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘𝑈) ∈ V
36		s111 14320	. . . . . 6 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
37	34, 35, 36	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
38	33, 37	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
39	38	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
40	39	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
41	8, 40	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265  ⟨“cs1 14300   substr csubstr 14353   prefix cpfx 14383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384

This theorem is referenced by:  wwlksnextinj  28264  clwwlkf1  28413