MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfval 19407
Description: The transpositions on a pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfval (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
Distinct variable group:   𝑧,𝑝

Proof of Theorem pmtrprfval
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 5425 . . 3 {1, 2} ∈ V
2 eqid 2726 . . . 4 (pmTrsp‘{1, 2}) = (pmTrsp‘{1, 2})
32pmtrfval 19370 . . 3 ({1, 2} ∈ V → (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))))
41, 3ax-mp 5 . 2 (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
5 1ex 11214 . . . . 5 1 ∈ V
6 2nn0 12493 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 1ne2 12424 . . . . 5 1 ≠ 2
8 pr2pwpr 14446 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≠ 2) → {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} = {{1, 2}})
95, 6, 7, 8mp3an 1457 . . . 4 {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} = {{1, 2}}
109mpteq1i 5237 . . 3 (𝑝 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
11 elsni 4640 . . . . . 6 (𝑝 ∈ {{1, 2}} → 𝑝 = {1, 2})
12 eleq2 2816 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {1, 2} → (𝑧𝑝𝑧 ∈ {1, 2}))
1312biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝑝 = {1, 2} ∧ 𝑧 ∈ {1, 2}) → 𝑧𝑝)
1413iftrued 4531 . . . . . . 7 ((𝑝 = {1, 2} ∧ 𝑧 ∈ {1, 2}) → if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧) = (𝑝 ∖ {𝑧}))
15 elpri 4645 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {1, 2} → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 2))
16 2ex 12293 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ V
1716unisn 4923 . . . . . . . . . . . 12 {2} = 2
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → 𝑝 = {1, 2})
19 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → {𝑧} = {1})
2118, 20difeq12d 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = ({1, 2} ∖ {1}))
22 difprsn1 4798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({1, 2} ∖ {1}) = {2})
237, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({1, 2} ∖ {1}) = {2}
2421, 23eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = {2})
2524unieqd 4915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = {2})
26 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
2817, 25, 273eqtr4a 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 1 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1))
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1)))
305unisn 4923 . . . . . . . . . . . 12 {1} = 1
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → 𝑝 = {1, 2})
32 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 2 → {𝑧} = {2})
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → {𝑧} = {2})
3431, 33difeq12d 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = ({1, 2} ∖ {2}))
35 difprsn2 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({1, 2} ∖ {2}) = {1})
367, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({1, 2} ∖ {2}) = {1}
3734, 36eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = {1})
3837unieqd 4915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = {1})
397nesymi 2992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 2 = 1
40 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
4139, 40mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
4241iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
4430, 38, 433eqtr4a 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 2 ∧ 𝑝 = {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1))
4544ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 2 → (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4629, 45jaoi 854 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 2) → (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4715, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {1, 2} → (𝑝 = {1, 2} → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4847impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑝 = {1, 2} ∧ 𝑧 ∈ {1, 2}) → (𝑝 ∖ {𝑧}) = if(𝑧 = 1, 2, 1))
4914, 48eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝑝 = {1, 2} ∧ 𝑧 ∈ {1, 2}) → if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧) = if(𝑧 = 1, 2, 1))
5011, 49sylan 579 . . . . 5 ((𝑝 ∈ {{1, 2}} ∧ 𝑧 ∈ {1, 2}) → if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧) = if(𝑧 = 1, 2, 1))
5150mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝑝 ∈ {{1, 2}} → (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧)) = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
5251mpteq2ia 5244 . . 3 (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
5310, 52eqtri 2754 . 2 (𝑝 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 {1, 2} ∣ 𝑡 ≈ 2o} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧𝑝, (𝑝 ∖ {𝑧}), 𝑧))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
544, 53eqtri 2754 1 (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625   cuni 4902   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  2oc2o 8461  cen 8938  1c1 11113  2c2 12271  0cn0 12476  pmTrspcpmtr 19361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-pmtr 19362
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  19408
  Copyright terms: Public domain W3C validator