Theorem psgnprfval2 19489

Description: The permutation sign of the transposition for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval2	⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Proof of Theorem psgnprfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5375	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
2	1	snid 4607	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
4	3	fveq2i 6837	. . . . . 6 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{1, 2})
5	4	rneqi 5886	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘{1, 2})
6		pmtrprfvalrn 19454	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
7	5, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8	2, 7	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ ran (pmTrsp‘𝐷)
9		psgnprfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10	8, 9	eleqtrri 2836	. 2 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇
11		psgnprfval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12		psgnprfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	11, 9, 12	psgnpmtr 19476	. 2 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇 → (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1)
14	10, 13	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ran crn 5625  ‘cfv 6492  1c1 11030  -cneg 11369  2c2 12227  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335  pmTrspcpmtr 19407  pmSgncpsgn 19455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-oppg 19312  df-symg 19336  df-pmtr 19408  df-psgn 19457

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22599  m2detleiblem6  22601