Theorem psgnprfval2 19624

Description: The permutation sign of the transposition for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval2	⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Proof of Theorem psgnprfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5414	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
2	1	snid 4633	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
4	3	fveq2i 6891	. . . . . 6 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{1, 2})
5	4	rneqi 5932	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘{1, 2})
6		pmtrprfvalrn 19589	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
7	5, 6	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8	2, 7	eleqtrri 2865	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ ran (pmTrsp‘𝐷)
9		psgnprfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10	8, 9	eleqtrri 2865	. 2 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇
11		psgnprfval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12		psgnprfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	11, 9, 12	psgnpmtr 19611	. 2 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇 → (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1)
14	10, 13	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ran crn 5667  ‘cfv 6543  1c1 11119  -cneg 11460  2c2 12313  Basecbs 17294  SymGrpcsymg 19470  pmTrspcpmtr 19542  pmSgncpsgn 19590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-reverse 14820  df-s2 14911  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-tset 17354  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-oppg 19447  df-symg 19471  df-pmtr 19543  df-psgn 19592

This theorem is used by:  m2detleiblem1  22818  m2detleiblem6  22820