Theorem psgnprfval2 19498

Description: The permutation sign of the transposition for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval2	⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Proof of Theorem psgnprfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5380	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
2	1	snid 4606	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
4	3	fveq2i 6843	. . . . . 6 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{1, 2})
5	4	rneqi 5892	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘{1, 2})
6		pmtrprfvalrn 19463	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
7	5, 6	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8	2, 7	eleqtrri 2835	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ ran (pmTrsp‘𝐷)
9		psgnprfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10	8, 9	eleqtrri 2835	. 2 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇
11		psgnprfval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12		psgnprfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	11, 9, 12	psgnpmtr 19485	. 2 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇 → (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1)
14	10, 13	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ran crn 5632  ‘cfv 6498  1c1 11039  -cneg 11378  2c2 12236  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416  pmSgncpsgn 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417  df-psgn 19466

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22589  m2detleiblem6  22591