Theorem psgnprfval2 19546

Description: The permutation sign of the transposition for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval2	⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Proof of Theorem psgnprfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5394	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
2	1	snid 4620	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
4	3	fveq2i 6866	. . . . . 6 ⊢ (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘{1, 2})
5	4	rneqi 5911	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘{1, 2})
6		pmtrprfvalrn 19511	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
7	5, 6	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ran (pmTrsp‘𝐷) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
8	2, 7	eleqtrri 2860	. . 3 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ ran (pmTrsp‘𝐷)
9		psgnprfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
10	8, 9	eleqtrri 2860	. 2 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇
11		psgnprfval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
12		psgnprfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
13	11, 9, 12	psgnpmtr 19533	. 2 ⊢ ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑇 → (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1)
14	10, 13	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  {cpr 4583  ⟨cop 4587  ran crn 5646  ‘cfv 6517  1c1 11071  -cneg 11412  2c2 12269  Basecbs 17228  SymGrpcsymg 19392  pmTrspcpmtr 19464  pmSgncpsgn 19512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760  df-reverse 14769  df-s2 14858  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-tset 17288  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-oppg 19369  df-symg 19393  df-pmtr 19465  df-psgn 19514

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22664  m2detleiblem6  22666